【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件：选修4-5 不等式选讲

真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考高考定位该部分主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用．对于带有绝对值不等式的求解，主要考查形如|x|＜a或|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c或|x－a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题多以解答题为主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及到的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考[真题感悟]1．(2014·广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．解析当x－2时，原不等式等价于1－x－x－2≥5⇒x≤－3，此时得到x≤－3；当－2≤x≤1时，原不等式等价于1－x＋x＋2≥5，此时无解；当x1时，原不等式等价于x－1＋x＋2≥5⇒x≥2，此时得到x≥2.于是原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．答案{x≤－3或x≥2}真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考2．(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|3的解集为x|－53x13，则a＝________.答案－3解析由|ax－2|3，解得－1ax5，当a＞0时，－1a＜x＜5a与已知条件不符；当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；当a＜0时，5a＜x＜－1a，又不等式的解集为x－53＜x＜13，故a＝－3.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考3．(2014·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．解析根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5.答案5真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考4．(2014·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考解析法一设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝－3x－1，x≤－2，－x＋3，－2x12，3x＋1，x≥12，∴x＝12，函数y＝|2x－1|＋|x＋2|取最小值3×12＋1＝52，∴|2x－1|＋|x＋2|≥52≥a2＋12a＋2，即2a2＋a－1≤0，∴－1≤a≤12.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考法二|2x－1|＋|x＋2|＝|x－12|＋|x－12|＋|x＋2|≥0＋|(x－12)－(x＋2)|＝52，当且仅当x＝12时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是52.所以a2＋12a＋2≤52，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12，即实数a的取值范围是－1，12.答案－1，12真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考[考点整合]1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)－a；(2)|f(x)|a(a0)⇔－af(x)a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考4．柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(i＝1na2i)i＝1nb2i≥(i＝1naibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考5．绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考热点一含绝对值不等式的解法【例1】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考解(1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2x3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2x3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围是[－3,0]．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考规律方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考【训练1】若不等式|x＋1|＋|x－2|a无实数解，则a的取值范围是________．解析由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|a无解，如a≤3.答案(－∞，3]真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考热点二不等式的证明【例2】已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.证明因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考探究提高利用待定系数法求解，如本题中：设y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，则m＝23，n＝－13，即3y＝2(x＋y)－(2x－y)．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考【训练2】设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当ab时，ab，从而(a)5(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考热点三绝对值不等式的综合应用【例3】已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．解(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a0时，－4a≤x≤2a，得a＝2.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考规律方法解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．(2)记h(x)＝f(x)－2fx2，则h(x)＝1，x≤－1，－4x－3，－1x－12，－1，x≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k≥1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考【训练3】已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．解法一(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝－2x－1，x－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x2.所以当x－3时，g(x)5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破专题训练·对接高考法二(1)同法一．(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5].