高中数学 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修2-2

函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间复习引入G=(a,b)以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.判断函数单调性有哪些方法？图象法定义法已知函数观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth()9.86.5vttaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy结论例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14练习P2622.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf108642-2-4-6-8-10-55101520课本P93:练习2:baC例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx单调递增区间为(-,+)(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf单调递增区间为(1,+);单调递减区间为(-,1);例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf(4)因为,所以当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf单调递增区间为(-1+172,+);(-,-1-172);单调递减区间为(-1-172,-1+172)例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）练习P2611.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(2)();xfxex3(3)()3.fxxx1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)();xfxex3(2)()3.fxxxab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0()(,)fxab在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。练习、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。(3)f(x)=sinx-xx（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围(4)下结论，写出函数的单调区间。总结:用“导数法”求单调区间的步骤：2(4)()23fxxx练习：证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论证明:因为f(x)=2x3-6x2+7f/(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0,函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数例求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数1.对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;2.对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;补充结论2120101fxaxx,,fxxx,a.例已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322()f'xax解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32f'xaxx()0,即-在（0，1]上恒成立31max而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1gxxgxg1a-例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy(,)ab),(b),(a例求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.证令f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根知识小结：一般地，函数y＝f（x）在某个区间内：如果，则f(x)在该区间是增函数。如果，则f(x)在该区间是减函数。求单调区间的步骤:（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。f’(x)0f’(x)0导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数A作业P312(3)(4)3