高中数学 微积分

高中数学微积分一、导数1．导数的定义定义：设函数yfx在点0x的某邻域内有定义，若极限000limxxfxfxxx存在，则称函数f在点0x处可导，并称该极限值为函数f在点0x处的导数，记为0fx（或000|||xxxxxxdydfydxdx，，）．若令0xxx，00yfxxfx，则000limxxfxfxxx可改写为0000limxfxxfxfxx．所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数0fx则为f在0x处关于x的变化率．若000limxxfxfxxx极限不存在，则称f在点0x处不可导．2．导函数若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f为I上的可导函数．此时，对每一个xI，都有f的一个导数fx（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为f在I上的导函数，也简称为导数，记为f或y，即0limxfxxfxfxxIx，．3．导数的几何意义函数f在点0x处的导数0fx是曲线yfx在点00,xy处的切线斜率．曲线yfx在点00xy，处的切线方程为000yyfxxx．4．求导法则（1）基本求导法则①uvuv；②uvuvuv，cucu（c为常数）；③2uuvuvvv，21vvv；④反函数导数1dydxdxdy；⑤复合函数导数dydydudxdudx．（2）基本初等函数导数公式①0c（c为常数）；②1xx（为任意实数）；③sincosxx，cossinxx；④2tansecxx，2cotcscxx，secsectanxxx，csccsccotxxx；⑤lnxxaaa，xxee．⑥1loglnaxxa，1lnxx．5．导数的应用（1）判断函数单调性定理：设函数fx在区间I上可导，则fx在I上递增（减）的充要条件是00fx．推论：设函数fx在区间I上可导，若00fx，则fx在区间I上严格递增（严格递减）．（2）函数的极值定义：若函数fx在点0x的某邻域0Ux内对一切0xUx有00fxfxfxfx，则称函数fx在点0x取得极大（小）值，称点0x为极大（小）值点．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．（3）最值对于闭区间,ab上的连续函数fx，我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f在区间,ab上的最大值与最小值．二、定积分1.定义：设f是定义在ab，上的一个函数，J是一个确定的实数．若对任给的正数，总存在某一正数，使得对ab，的任何分割T，以及在其上任意选取的点集i，只要T，就有1niiifxJ，则称函数f在区间ab，上可积或黎曼可积；数J称为f在区间ab，上的定积分或黎曼积分，记为baJfxdx，其中f称为被积函数，x称为积分变量，ab，称为积分区间，,ab分别称为这个定积分的下限和上限．牛顿—莱布尼茨公式：若函数f在ab，上连续，且存在原函数F，即Fxfx，xab，，则f在,ab上可积，且bafxdxFbFa，这称为牛顿—莱布尼茨公式，它也常写为|bbaafxdxFx．2.几何意义：对于,ab上的连续函数f，当0fx，xab，，定积分的几何意义就是yfx，xa，xb，0y所围成的曲边梯形的面积；当0fx，xab，时，这时baJfxdx是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的fx而言，定积分J的值则是曲线yfx在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和．3.性质：性质1：若f在,ab上可积，k为常数，则kf在ab，上也可积，且bbaakfxdxkfxdx．性质2：若f、g都在,ab上可积，则fg在ab，上也可积，且bbbaaafxgxdxfxdxgxdx．性质3：若f、g都在ab，上可积，则fg在ab，上也可积．性质4：f在,ab上可积的充要条件是：任给,cab，f在ab，与ab，上都可积．此时又有等式bcbaacfxdxfxdxfxdx．性质5：设f为,ab上的可积函数．若0fx，,xab，则0bafxdx．性质6：若f在,ab上可积，则f在ab，上也可积，且bbaafxdxfxdx．性质7：（积分第一中值定理）若f在ab，上连续，则至少存在一点ab，，使得bafxdxfba．性质8：设f在ab，上连续，若xaFxftdt，,xab则Fx在ab，上处处可导．4.定积分的应用①求平面图形的面积：由连续曲线(0)yfx以及直线xa，xbab，0y所围成的曲边梯形的面积为bbaaAfxdxydx，如果f在ab，上不都是非负的，则所围成图形的面积为bbaaAfxdxydx．一般地，由上、下两条连续曲线2yfx与1yfx以及两条直线xa，xbab所围成的平面图形的面积为21baAfxfxdx．三、例题选讲例1求下列函数的导数．（1）xxxy35；（2）xxycossin；（3）xxy1；（4）13cos2xxxy．解析：根据求导法则及四则运算进行求解．（1）1352435xxxxxy；（2）xxxxysincoscossin；（3）22111111xxxxxxxxy；（4）3sincos23coscos222xxxxxxxxy．例2求过曲线xyln2上点2，eA处的切线方程．解析：利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键．xxy2ln2，由导数的几何意义，曲线在点2，eA处的斜率exkex2|2，故所求的切线方程为exey22，即02eyx．例3求8224xxy的单调区间．解析：令0114144423xxxxxxxy，得01x，12x，13x，列表如下：x1，01，10，，1xf0小于0大于0小于0大于xf单调递减单调递增单调递减单调递增所以xf在区间01，，，1上单调递增；在区间1，，10，上单调递减．例4已知函数cbxxxxf2321．（1）若xf有极值，求b的取值范围；（2）若xf在1x处取得极值，当21，x时，2cxf恒成立，求c的取值范围；（3）若xf在1x处取得极值时，证明：对21，内的任意两个值1x，2x，都有2721xfxf．解析：（1）bxxxf23，令0xf，由0，得0121b，即121b；（2）因为xf在1x处取得极值，故01f，即013b，得2b，令0xf，得321x，12x，当x的取值为32，1，1，2时，经比较，当2x时，cxf2max，所以22cc，解得2c或1c；（3）可以计算得cxf2max，cxf23min，所以对21，内的任意两个值1x，2x，都有2723221ccxfxf．例5计算：（1）dxx1022；（2）dxxx20cos；（3）dxbxax212，其中a，b为实数．解析：（1）37231|2312103102xxdxx；（2）18|sin21cos220220xxdxxx；（3）233723238|232123212bababaxbxadxbxax．例6计算由曲线2xy与xy2所围成的图形的面积．解析：如图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组，，xyxy22得交点横坐标为0x及1x．．曲边梯形曲边梯形313132|31|32103102310210xxdxxdxxSSSOABDOABC