习题课1

复习1数学物理方程三类方程、三种求解方法、一个特殊函数分离变量法行波法格林函数法波动方程热传导传导拉普拉斯方程贝赛尔函数课程内容第一章典型方程和定解问题振动方程热传导方程22222uuagtx……一维波动方程------非齐次方程自由项222uuatx初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(,)|()tuMtMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件A、弦振动方程的初始条件00|()()ttuxuxt初始条件——描述系统的初始状态初位移初速度边界条件——描述系统在边界上的状况第一类边界条件|suf给出边界上各点的函数值:sufn给出边界上各点函数的法向微分值:Suufn给出边界上各点的函数值与法向微分值之间的线性关系:注意：无论哪类边界条件，只要数学表达式中右端项为零，我们就称其为齐次边界条件，反之，称非齐次的。第二类边界条件第三类边界条件A、弦振动方程的边界条件(1)固定端：振动过程中端点(x=a)保持不动，其边界条件为：|0xau(,)0uatsin00xauTTx0xaux或：(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧支承Hook0e,xaxaxauuuxaTkux表示弹性支承的应变，由定设弹性支律知：弦在处张力应等承原来的位置则于，即xaxauTkux或0,/xauuTxk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V的边界)(1)边界S上的温度为已知函数f(x,y,z,t)|suf(f是定义在边界S上的函数)(2)绝热状态(即在S上的热量流速为零)或流速已知0()ssuufnn或(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。11()dddQkuuSt热交换系数；周围介质的温度1k1uddukStn11,SSkuuunk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件习题一.1长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有热流q流入，杆的初始温度分布为x(l-x)/2，试写出相应的定解问题。解：一维热传导问题，写出微分方程222uuatx一端温度为零(0,)0ut另一端有热流q流入xluukkqnx杆的初始温度分布0()2txlxu定解问题：22200,0,0,0,,0()02xxltuuaxlttxuqutxkxlxuxl习题一.2长为l的弦，两端固定，开始时在x=c点受到冲量k的作用，试写出相应的定解问题。解：一维弦振动问题，写出微分方程22222uuatx两端固定(0,)(,)0utult开始时在x=c点受到冲量k的作用，即在距离c点无穷小距离d处0(0)2tummkcxctddd弦的初始位移00tu定解问题：22222000,0,0,0,0,00,0,20,xxlttuuaxlttxuutuxlkxcutxcddd习题一.3有一均匀杆，只要杆中一小段有纵向位移或速度，必导致相邻段的压缩或伸长，这种伸缩传播开去，就有纵波沿杆传播，试推导杆的纵振动方程。( ,)xxtuxt如图，取杆长方向为轴方向，垂直于杆长方向的各截面均用平行位置标记；在任一时刻，此截面相对于平衡位置的位移为, xxx在杆中隔离一小段(d),分析受力情况(,)(,).xPxtSxdxPxdxtSPx截面：受到弹(应)力;截面：受到弹力,为单位面积所受的弹力，沿轴方向牛顿运动定律：22[(,)(,)].udmPxdxtPxtSt22, dmdxSuPtx，则若杆的密度为(,)(,)(,),(,)()()(,).uxdxuxdxtuxtduuxtdxxuuxxdxdxxxuxtxx点处的位移因此小段的伸长压缩为，相对伸长压缩为，即点处的应变为又HookeEYoung,uPxuPEx若略去垂直杆长方向的变形，根据定律，弹(应)力与应变成正比：为杆的模量,故2222,uExut22222,.uuEaatx（其中）习题一.4一均匀杆原长l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静止，突然放手任其振动，试建立振动方程与定解条件。解：一维弦振动问题，写出微分方程22222uuatx一端固定(0,)0ut另一端放手后为自由端0xlux整个杆被拉长e，单位长度拉长e/l,则初始位移0teuxl初始时，杆静止，初速度00tut22222000,0,0,0,0,0,00,0xxlttuuaxlttxuutxeuxxlluxlt定解问题：第二章分离变量法解决有界问题，且边界规范一维振动、一维热传导、二维拉普拉斯齐次、非齐次22222uuatx一维振动方程一维热传导方程222uuatx分离变量0XX2'0TaT0XX20TaT2atnnTCe()sincosnnnTtCatDat0XX解的形式与边界条件有关利用叠加原理，特别地，对于22类边界条件计算系数-求解积分的技巧xxaxaexPxkndcossin)(此法特别适用于如下类型的积分:其中Pn（x）为多项式xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvuxvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的规律)2()1()(nnnvuvuvuxvund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别:当u为n次多项式时,,0)1(nu计算大为简便.例.求解:取23xx132xx660xe2xe221xe241xe281xe2161xe2原式)2(321xx)13(241xx681Cxxxex)7264(232816161C直角坐标系下的拉普拉斯方程axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222齐次偏微分方程0XX0YY分离变量与一维波动、热传导相同yannyannneDeCY1sinnyannyannxaneDeCu对于11类边界条件（对x）xxanxaDCnndsin)(2a0xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022()()sind1nbaannbanxexxxaaCe022()()sind1nbaannbanxexxxaaDe确定待定系数（利用自变量y的边界条件）20),(),(20,,01100222fuuu圆域极坐标系下的拉普拉斯方程分离变量020欧拉方程02nnnnnnCD0000lnCD),0(u一般的，通解为圆域扇域环扇确定待定系数（利用边界条件）圆域圆域扇域非齐次方程的求解•用分解原理得出对应的齐次问题（带初始条件）；•解出齐次问题；•根据齐次方程解的形式，得到非齐次方程（零初始条件）解的形式；•解出非齐次方程（零初始条件）的解；•与齐次方程的解叠加，得到所求非齐次问题的解。非齐次方程的解法研究定解问题：一根两端固定的弦，受强迫力作用时所产生的振动。22222(,),0,0(0,)(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuafxtxlttxutulttuxuxxxxlt齐次边界条件（11类）波动方程2222222222(,),0,0,(0,)(,)0,(0,)(,)0,0,(,0)(,0)(,0)(),()(,0)0,0,WWVVaafxtxlttxtxWtWltVtVlttWxVxWxxxVxxltt(,)(,)(,)uxtVxtWxt考虑弦的振动由两部分干扰引起，一是强迫力，一是初始状态。由问题的物理意义可知，此时，弦的振动可以看作仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。强迫力初始状态由此原有问题分解为两个定解问题初始状态强迫力10022(,)()sinsin()sincossinllnnnnnnWxtxxdxatxxdxatxnallllll非齐次方程的解法带初始条件齐次微分方程的解零初始条件非齐次微分方程的解的形式1()sinnnnVvtxl带入零初始条件非齐次微分方程求解vn(t))(sin)(tftlananltvnnd)(sin)(0tlanfanltn将vn(t)带入V(x,t)的表达式，得到V(x,t)最终得到原非齐次微分方程的解u(x,t)=W(x,t)+V(x,t)11类习题二.2弦的振动问题22222,0,0(0,)(,)0,0(,0)(,0)0,(),0uuaxlttxutulttuxuxxlxxlt解：分离变量,令，得到方程)()(),(tTxXtxu0XX20TaT11类边界条件，得方程特征解的形式21,2,3,()0nnl()sinnnXxxlatlnDatlnCtTnnncossin)(可知满足偏微分方程和边界条件的特解为：,3,2,1sincossin)()(),(nxlnatlnDatlnCtTxXtxUnnnnn1sincossin),(nnnxlnatlnDatlnCtxU0022()sin()sinllnnnCxxdxxlxxdxnalnal0()xlxsinnl2lx-2coslnnl2()sinlnnl3()coslnnl02()sin0lnnDxxdxll223033332[()cos(2)()sin2()cos]22[2()(1)2()]2()[1(1)]4()[1(1)]lnnnnlnlnlnCxxlxxlxxnanlnlnllllnannnnalnna34414(,)sinsinnlnnUxtatxnall习题二.6一维热传导问题2220,0,00,0,0(,0),0xxluuaxlttxuutxxuxxxl解：分离变量,令，得到方程)()(),(tTxXtxu0XX20TaT22类边界条件，得方程特征解的形式齐次边界条件