[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第十二章 第1讲 椭圆 [配套课件]

第十二章圆锥曲线与方程1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．3．了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．4．理解数形结合的思想．5．了解圆锥曲线的简单应用．1．近几年高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容．以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点．圆锥曲线的知识综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容．计算量大，要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力．2．以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与讨论圆锥曲线的位置关系．解答题的题型设计主要有三类：一是圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；二是涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；三是求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹．预测2012年高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．有1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题．第1讲椭圆1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a|F1F2|)的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点．当|PF1|＋|PF2|＝2a|F1F2|时，P的轨迹为_____；椭圆当|PF1|＋PF2|＝2a|F1F2|时，P的轨迹________；不存在当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为_________________________.以F1、F2为端点的线段(2)第二定义：平面内___________________________________________________________________________为椭圆．到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹2．椭圆的方程与几何性质1．若椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则实数___________.2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是______________________.3．已知椭圆一个焦点到长轴两个顶点间的距离分别是33，3，则椭圆的离心率是____.m＝32或83x216＋y27＝1或x27＋y216＝1124．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_______.5．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为_____________.43x216＋y212＝1考点1椭圆定义及标准方程例1：根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为435和235，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A(0,2)和B12，3.解题思路：(1)设出标准方程，结合第一定义，求出长轴长，依题意结合图形求出短轴长．(2)设椭圆方程直接带入A、B两点求出待定系数．解析：(1)设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，则由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，∴a＝5.在方程x2a2＋y2b2＝1中令x＝±c得|y|＝b2a.在方程y2a2＋x2b2＝1中令y＝±c得|x|＝b2a.依题意并结合图形知b2a＝235.∴b2＝103.即椭圆的标准方程为x25＋y2103＝1或y25＋x2103＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B12，3的椭圆方程为mx2＋ny2＝1，代入A、B得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.(1)求椭圆的方程关键是确定a、b的值，常利用椭圆的定义解题．(2)在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)、“四线”(即两条对称轴与两条准线)对椭圆方程的影响．(3)当椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上时，应有两种情况．【互动探究】1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率考点2椭圆的几何性质为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为___________.x236＋y29＝1例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点C1，32在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)若点P在椭圆E上，且满足PF1→·PF2→＝t，求实数t的取值范围．解题思路：本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力．解析：(1)方法一：依题意，设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由已知半焦距c＝1，∴a2－b2＝1①.∵点C1，32在椭圆E上，则1a2＋94b2＝1②.由①、②解得，a2＝4，b2＝3.∴椭圆E的方程为x24＋y23＝1.方法二：依题意，设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵点C1，32在椭圆E上，∴2a＝|CF1|＋|CF2|＝4，即a＝2.由已知半焦距c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)设P(x0，y0)，由PF1→·PF2→＝t，得(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝t，即x20＋y20＝t＋1③.∵点P在曲线C上，∴x204＋y203＝1④.由③得y20＝t＋1－x20，代入④，并整理得x20＝4(t－2)⑤.由④知，0≤x20≤4⑥，结合⑤、⑥，解得：2≤t≤3.∴实数t的取值范围为[2,3].个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝____.【互动探究】2．已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一13错源：没有考虑坐标的取值范围例3：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e误解分析：没有考虑到y的取值范围．点在椭圆上，就有－b≤y≤b，因此在求椭圆上的点到点P的距离的最大值时，应分类讨论．＝32，已知点P0，32到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程．正解：依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．则e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝34，所以b2a2＝14，即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋y－322＝a21－y2b2＋y2－3y＋94＝－3y＋122＋4b2＋3.若b12，则当y＝－b时，d2(从而d)有最大值．于是(7)2＝b＋322，从而解得b＝7－3212，与b12矛盾．所以必有b≥12，纠错反思：在椭圆的背景下求最值问题时，一定要注意变量的取值范围.此时当y＝－12时，d2(从而d)有最大值，所以4b2＋3＝(7)2，解得b2＝1，a2＝4.于是所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.【互动探究】图12－1－13.如图12－1－1，在平面直角坐标系中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆作圆M，若过点Pa2c，0，所作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_____.22例4：(2010年深圳调研)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的面积为πab，且M包含于平面区域Ω：|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为π4.(1)试求椭圆M的方程；(2)若斜率为12的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P1，32为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1＋k2是否为定值？请证明你的结论．解析：(1)平面区域Ω：|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如图12－1－2(1).(1)(2)图12－1－2依题意及几何概型，可得πab83＝π4，即ab＝23.∵0a≤2,0b≤3，所以，a＝2，b＝3.∴椭圆M的方程为x24＋y23＝1.(2)如图12－1－2(2)．设直线l的方程为：y＝12x＋b，C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立直线l的方程与椭圆方程得：y＝12x＋b①x24＋y23＝1②，①代入②得：3x2＋412x＋b2＝12.化简得：x2＋bx＋b2－3＝0③.当Δ0时，即，b2－4(b2－3)＞0.也即，|b|2时，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理得：x1＋x2＝－bx1·x2＝b2－3，∴k1＝y1－32x1－1＝12x1＋b－32x1－1，k2＝y2－32x2－1＝12x2＋b－32x2－1.则k1＋k2＝12x1＋b－32x1－1＋12x2＋b－32x2－1＝＝x1·x2＋(b－2)(x1＋x2)＋3－2b(x1－1)(x2－1)b2－3＋(b－2)(－b)＋3－2b＝0.(x1－1)(x2－1)∴k1＋k2为定值．点评：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题有两种思路：①进行一般计算推理求出其结果；②通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的．如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．4．已知，椭圆C过点A1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．【互动探究】解：(1)由题意，c＝1，椭圆C过点A，椭圆方程为11＋b2＋94b2＝1，解得b2＝3，b2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋32，代入x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋432－k2－12＝0.设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A1，32在椭圆上，所以xE＝432－k23＋4k2，yE＝kxE＋32－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得所以xF＝432＋k23＋4k2，yF＝－kxE＋32＋k.所以直线EF的斜率kEF＝yF－yExF－xE＝－k(xF＋xE)＋2kxF－xE＝12，即直线EF的斜率为定值，其值为12.1．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的关系：(1)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.2．直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆相交⇔Δ0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ0.