[原创]2012年《高考风向标》高考理数一轮复习 第六章 第7讲 三角函数的综合问题 [配套课件]

第7讲三角函数的综合问题1．配方法、换元法、数形结合法、基本不等式法等是三角函数综合问题中的常用数学方法，学习中要突出这些数学方法．2．将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代入法，二是代换法．最常用的代换就是三角代换．形如条件x2＋y2＝1，通常设x＝_______，y＝_______.cosθsinθBB1．函数y＝cos2x＋2sinxcosx的最小正周期T＝()A．2πB．πC.π2D.π32．对于函数f(x)＝sinx＋1sinx(0xπ)，下列结论正确的是()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值D3．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为()A．－12B.12C．－32D.32解析：∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，∵函数f(x)是偶函数，∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32，∴f5π3＝32.4．观察下列结论：sinx＋sin3x＝sin22xsinx；sinx＋sin3x＋sin5x＝sin23xsinx；sinx＋sin3x＋sin5x＋sin7x＝sin24xsinx；…，则sinx＋sin3x＋sin5x＋sin7x＋…＋sin(2n－1)x应等于_________.5．如果x≤π4，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是________.sin2nxsinx1－22sin2α＋sin2α考点1三角函数与解析几何例1：已知直线l的倾斜角α是直线x－2y－6＝0的倾斜角的2倍，求1－cos2α的值．解析：因为直线x－2y－6＝0的斜率为12，所以tanα＝2122112＝43，则sin2α＋sin2α1－cos2α＝2sinαcosα＋sin2α2sin2α＝2cosα＋sinα2sinα＝2＋tanα2tanα＝2＋432×43＝54.直线的斜率是倾斜角的正切值，但要注意两条直线的倾斜角是两倍关系时，它们的斜率并非两倍关系．C1．已知D是由不等式组x＋2y≥0x－3y≥0，所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝9在区域D内的弧长为()A.π4B.π2C.3π4D.3π2【互动探究】图6－7－1解析：如图6－7－1，不等式组所表示的区域如图中阴影部分所示，其中tanα＝13，tanβ＝12，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋121－13·12＝1,∴α＋β＝π4，所求弧长为3×π4＝3π4.考点2三角函数与不等式例2：已知定义在R上的奇函数f(x)是增函数，对任意θ∈R，不等式f(cos2θ－3)＋f(2m－sinθ)0恒成立，求实数m的取值范围．解题思路：利用函数的单调性和奇偶性，化简不等式f(cos2θ－3)＋f(2m－sinθ)0.解析：∵奇函数f(x)在R上是增函数且f(cos2θ－3)＋f(2m－sinθ)0恒成立⇔f(cos2θ－3)－f(2m－sinθ)恒成立⇔f(cos2θ－3)f(sinθ－2m)恒成立⇔cos2θ－3sinθ－2m恒成立，若一个不等式恒成立，求其中参数的取值范围的问题，通常采取分离参数法，转化为求最值问题．分离出m得，msinθ＋142＋1516恒成立，即msinθ＋142＋1516的最大值．∵当sinθ＝1时，sinθ＋142＋1516的最大值为52，∴m＞52.故实数m的取值范围是52，＋∞.【互动探究】2．设x＝log2(sinθ＋cosθ)，θ∈0，π2.(1)求x的取值范围；(2)设y＝x＋1x，试问当θ变化时，y有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，说明理由．解：(1)x＝log22sinθ＋π4，∵0θπ2，∴π4θ＋π43π4，∴12sinθ＋π4≤2，即0x≤12.∴x的取值范围是0x≤12.(2)设u(x)＝x＋1x，则u′(x)＝1－1x2，当0x≤12时，u′(x)0，故u(x)在0，12上是减函数，∴当x＝12时，u(x)有最小值52，∴当θ变化时y＝x＋1x有最小值．y最小值＝52＝102.错源：未对参数进行分类讨论例3：设关于x的定义域为R的函数y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)，其中a为常数．(1)求函数的最小值为f(a)；(2)试确定满足f(a)＝12的a的值.误解分析：不会利用三角函数的有界性，不会分类讨论．正解：(1)设cosx＝t，则y＝2t－a22－a2＋4a＋22，记φ(t)＝2t－a22－a2＋4a＋22，t∈[－1,1]．①若a2≤－1，即a≤－2时，函数φ(t)在区间[－1,1]上是单调递增函数，所以其最小值为φ(－1)＝1；②若－1a21，即－2a2时，函数φ(t)在区间[－1,1]上最小值为函数φ(t)的极小值φ(a2)＝－a22－2a－1；③若a2≥1，即a≥2时，函数φ(t)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以其最小值为φ(1)＝1－4a.综上所述，函数的最小值f(a)＝21(2)21(22)214(2)aaaaaa.(2)∵f(a)＝12，∴1－4a＝12⇒a＝18∉[2，＋∞)，由－a22－2a－1＝12，解得a＝－1∈(－2,2)，a＝－3舍去，∴a的值为－1.【互动探究】B3．为使方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2内有解，则a的取值范围是()A．－1≤a≤1B．－1a≤1C．－1≤a0D．a≤－54解析：设sinx＝t，则方程cos2x－sinx＋a＝0变为a＝t2＋t－1，其中t∈(0,1]．∵t2＋t－1∈(－1,1]，∴－1a≤1.解题思路：3x＋1和6x＋6是一次与二次的关系，结合三角函数的值域即可切入．例4：已知角A是一个凸四边形的最小内角，sinA的取值范围是D，当x∈D时，求函数1231y=log66xx的最小值，并求取得最小值时x的值．解析：∵角A是一个凸四边形的最小内角，∴0A≤π2，∴0sinA≤1，即D＝(0,1]，设t＝3x＋1，∵0x≤1，∴1t≤2，x＝t2－13.设M＝3x＋16x＋6，∴3x＋16x＋6＝t2t2＋4＝12t＋4t≤142＝28.当且仅当2t＝4t，即t＝2时，Mmax＝28.∵y＝log0.5M在(0，＋∞)上是减函数，∴ymin＝log0.528＝log0.52－log0.58＝52，此时t＝2即3x＋1＝2，∴x＝13.【互动探究】凸四边形的最小内角不超过π2，否则内角和将大于2π.4．已知0≤θ≤π2，求sin3θ＋cos3θ的最大值与最小值．解：设t＝sinθ＋cosθ.∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4，∴t＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π4)∈1，2.sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝t1－t2－12＝32t－12t3.设f(t)＝32t－12t3，t∈1，2.∵t∈1，2，∴f′(t)＝32－32t2≤0，∴函数f(t)＝32t－12t3在区间1，2上为减函数，∴f(t)min＝f(2)＝22，f(t)max＝f(1)＝1，即sin3θ＋cos3θ的最大值是1，最小值是22.1．在解析几何中常用三角代换，将二元转化为一元问题．向量、解析几何、实际应用等中的旋转问题也常引入角变量，转化为三角函数问题．利用三角函数的有界性，可以求函数的定义域、值域等.2．求三角函数最值的常用方法有：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法等．