[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第一部分 核心考点一 第4课时 函数与导数[配套课件

第4课时函数与导数1．(2013年广东)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析：y′＝2ax－1xx＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.答案：122．(2012年广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________________．解析：y′＝3x2－1，当x＝1时，y′＝2，此时k＝2，故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝03．(2011年广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析：∵f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)或(2，＋∞)，递减区间为(0,2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．答案：2f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：举例设f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x＝－1时，f(x)有极大值；当x＝1时，f(x)有极小值；结合该题知A，B，C错误，选D.答案：D4．(2013年福建)设函数y＝x的定义域为R，x0(x0≠0)是2010年广东高考没有考导数，2011年以来高考关于导数的内容是一大一小(其中大题是压轴题)，终于回归常态，预计2014年高考会保持稳定，选择(填空)应以考查导数的几何意义(切线)、导数的运算(极值)为主；解答题应以利用导数解决函数的单调性与最值为主，应特别注意含参数问题的讨论往往会在此解答题中体现．利用导数求切线的斜率例1：已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；解：(1)f′(x)＝3x2－8x＋5，f′(2)＝1，又f(2)＝－2.∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，f′(x0)＝3x20－8x0＋5，则切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，则x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理，得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2，或x0＝1.∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.【思维点拨】(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：①求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；②切点为P(x0，f(x0))，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：①设切点A(xA，yA)，求切线的斜率k＝f′(xA)；②利用斜率公式k＝y0－yAx0－xA＝f′(xA)，建立关于xA的方程，解出xA，进而求出切线方程．【配对练习】1．(2013年广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.答案：－1解析：y′＝k＋1xx＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.利用导数求极值在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．例2：设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)解：(1)∵f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，∴f′(x)＝ax－12x2＋32.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.(2)由(1)，知：f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2，∴f′(x)＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1因x2＝－13不在定义域内，舍去.当x∈(0,1)时，f′(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.【配对练习】2．(2013年课标Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b为开口向上的二次函数，若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(x1，x0)上单调递减，其中x1是f(x)的极大值点．答案：C利用导数求最值(1)若f(x)在x＝2处的切线与直线3x－2y＋1＝0平行，求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．例3：(2013年北京丰台一模)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a0)．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－ax＝x2－ax.由f(x)在x＝2处的切线与直线3x－2y＋1＝0平行，则f′(2)＝4－a2＝32，a＝1.此时f(x)＝12x2－lnx，f′(x)＝x2－1x.令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－1舍去)．f(x)与f′(x)的情况如下：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)—0＋f(x)↘↗12所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由f′(x)＝x－ax＝x2－ax.由a0及定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤1，即0a≤1，在(1，e)上，f′(x)0，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝12；②若1ae，即1ae2，在(1，a)上，f′(x)0，f(x)单调递减；在(a，e)上，f′(x)0，f(x)单调递增，因此在[1，e]上，f(x)min＝f(a)＝12a(1－lna)；③若a≥e，即a≥e2，在(1，e)上，f′(x)0，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝12e2－a.综上，当0a≤1时，f(x)min＝12；当1ae2时，f(x)min＝12a(1－lna)；当a≥e2时，f(x)min＝12e2－a.【思维点拨】由f′(x)＝x－ax＝x2－ax.令f′(x)＝0，得x＝a.然后分a≤1,1ae，a≥e三种情况讨论．【配对练习】(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．3．设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)因为当x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a2或a52.