[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第三部分 专题突破5 函数、导数与不等式整合 第2课

第2课时函数、导数与含参数问题的讨论函数的导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，有时还伴随对参数的讨论，2008年、2009年、2011年(文科)、2012年、2013年的广东高考都在导数部分考查分类讨论，预计这种形式还将延续．例1：(2013年广东)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．(1)当k＝1时，求函数fx的单调区间；(2)当k∈12，1时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.x(－∞，0)0(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↘解：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞).(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln(2k),所以g(k)≤ln2－1＝ln2－lne0，从而ln(2k)k，所以ln(2k)∈[0，k]．令g(k)＝ln(2k)－k，则g′(k)＝1k－1＝1－kk0，所以g(k)在12，1上递增，所以当x∈(0，ln(2k))时，f′(x)0；当x∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)0.所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则h′(k)＝k(ek－3k)，令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3e－30所以φ(k)在12，1上递减，而φ12·φ(1)＝e－32(e－3)0所以存在x0∈12，1使得φ(x0)＝0，且当k∈12，x0时，φ(k)0，当k∈(x0,1)时，φ(k)0,所以φ(k)在12，x0上单调递增，在(x0,1)上单调递减.因为h12＝－12e＋780，h(1)＝0，所以h(k)≥0在12，1上恒成立，当且仅当k＝1时取得“＝”.综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.【思维点拨】两处分析要清晰：①令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln(2k)，首先要看x2＝ln(2k)是否在区间[0，k]内，比较ln(2k)与k的大小，令g(k)＝ln(2k)－k，比较g(k)与0的大小关系；②M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}，最后要比较(k－1)ek－k3与－1的大小，令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，比较h(k)与0的大小关系．易错提醒：分类讨论时思路不清晰．【突破训练】1．(2011年广东)设a0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．解：∵f′(x)＝2a1－ax2－21－ax＋1x(x0)，当a＝1时，f′(x)＝1x＞0，∴f(x)在(0，＋∞)是增函数；当a≠1时，设g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1(x＞0)，当Δ≤0时，即13≤a＜1时，2a(1－a)＞0，g(x)≥0，即f′(x)≥0，∴f(x)在(0，＋∞)是增函数；当Δ＞0时，即0＜a＜13或a＞1，令g(x)＝0得，x1＝1－a－3a2－4a＋12a1－a，x2＝1－a＋3a2－4a＋12a1－a，当0＜a＜13时，2a(1－a)＞0,0＜x1＜x2，由f′(x)＞0，得0＜x＜x1或x＞x2，由f′(x)＜0，得x1＜x＜x2，∴f(x)的增区间为0，1－a－3a2－4a＋12a1－a和1－a＋3a2－4a＋12a1－a，＋∞，减区间为1－a－3a2－4a＋12a1－a，1－a＋3a2－4a＋12a1－a；当a＞1时，2a(1－a)＜0，x2＜0＜x1，由f′(x)＞0，得0＜x＜1－a－3a2－4a＋12a1－a，由f′(x)＜0，得x＞1－a－3a2－4a＋12a1－a，∴f(x)的增区间为0，1－a－3a2－4a＋12a1－a，减区间为1－a－3a2－4a＋12a1－a，＋∞，综上所述，当0＜a＜13时，f(x)的增区间为0，1－a－3a2－4a＋12a1－a和1－a＋3a2－4a＋12a1－a，＋∞，减区间为1－a－3a2－4a＋12a1－a，1－a＋3a2－4a＋12a1－a；当13≤a≤1时，f(x)的增区间为(0，＋∞)；当a＞1时，f(x)的增区间为0，1－a－3a2－4a＋12a1－a，减区间为1－a－3a2－4a＋12a1－a，＋∞.函数、导数与几何的综合与解析几何有关的函数的值域或弦长，周长、面积等的最大值、最小值，通常是解析几何与函数的综合问题．常用的方法有：①转化为二次函数，求二次函数值域；②化为一元二次方程，用Δ；③利用均值不等式；④利用函数单调性，有界性；⑤几何法．例2：如图1，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝12，且椭圆过点1，32.(1)求椭圆C的方程；(2)若M为椭圆C上的动点，F为椭圆的右焦点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，过点E(－6,0)作圆M的两条切线EA，EB(A，B为切点)，求点M的坐标，使得四边形EAMB的面积最大．图1解：(1)依题意得，e＝ca＝12，1a2＋94b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，c＝1,所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x0,y0)，圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，其中r＝|MF|＝x0－12＋y20|EA|＝|EM|2－r2＝x0＋62＋y20－r2＝14x0＋35(－2≤x0≤2)，SEAMB＝2S△EAM＝2·12|EA|·|AM|＝|EA|·|MF|＝14x0＋35·x0－12＋y20.又M(x0,y0)在椭圆x24＋y23＝1上，则y20＝3－34x20.所以SEAMB＝72x30－774x20－14x0＋140，(－2≤x0≤2)．令f(x)＝72x30－774x20－14x0＋140，(－2≤x0≤2)，f′(x)＝212x20－772x0－14＝72(3x0＋1)(x0－4)，(－2≤x0≤2)．当x0∈－2，－13时，f′(x)0，当x0∈－13，2时，f′(x)0，所以当x0＝－13时，f(x)有最大值，即x0＝－13时，四边形EAMB面积取得最大值，此时点M的坐标为M－13，1056或M－13，－1056.【思维点拨】设M(x0,y0)，将|MF|，|EA|表示成x0，y0的表达式，消掉y0,利用面积公式求出SEAMB＝2SΔEAM＝2·12|EA|·|AM|＝|EA|·|MF|关于x0的函数关系式(－2≤x0≤2)，最后利用导数求最值．(1)求函数f(x)在[0，f(0)]处的切线方程；(2)若函数f(x)在(－2，－1)上单调递减，且在(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)当a＝－1时，若∀x0∈(t,0]，函数f(x)的切线中总存在一条切线与函数f(x)在x0处的切线垂直，求t的最小值．解：(1)由已知f(0)＝1，f′(x)＝ax2＋2x＋2，所以f′(0)＝2，所以函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1.例3：已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋2x＋1(a≤0)．(2)方法一：①当a＝0时，f′(x)＝2x＋2，满足在(－2，－1)上f′(x)0，且在(0,1)上f′(x)0，所以当a＝0时满足题意；②当a0时，f′(x)＝ax2＋2x＋2是恒过点(0,2)，开口向下且对称轴x＝－1a0的抛物线，由二次函数图象分析可得在(－2，－1)上f′(x)0，且在(0,1)上f′(x)0的充要条件是f′1≥0，f′－1≤0，解得－4≤a≤0，即－4≤a0.综上讨论可得－4≤a≤0.方法二：由已知可得在(－2，－1)上f′(x)0，且在(0,1)上f′(x)0，所以－4≤a≤0.即a－2x＋1x2＝－21x2＋1x在(－2，－1)上成立且a－2x＋1x2＝－2(1x2＋1x)在(0,1)成立；因为在(－2，－1)上－21x2＋1x0，在(0,1)上－21x2＋1x－4，(3)当a＝－1时，f′(x)＝－x2＋2x＋2＝3－(x－1)2≤3，由题意，得∀x0∈(t,0]，总存在x∈R，使得f′(x0)·f′(x)＝－1成立，即f′(x0)＝－1f′x成立．因为－1f′x∈－∞，－13∪(0，＋∞)，当x0∈(t,0]时，f′(x0)∈(3－(t－1)2,2]，所以3－(t－1)2≥0，解得1－3≤t≤1＋3.所以t的最小值为1－3.【思维点拨】本题是函数与导数的综合题，主要考查导数的应用，函数的有关性质，函数与方程的思想，以及分析问题与解决问题的能力．切线是函数、导数与解析几何联系的纽带，因此，必须熟练掌握切线方程的求法．【易错警示】求导数要准确，解方程组不能出错．在点(1,0)处的切线．【突破训练】2．(2013年北京)设L为曲线C：y＝lnxx(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．，则f′(x)＝x2解：(1)设f(x)＝lnxx1－lnx.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1..x2(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(∀x0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋lnx当0x1时，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)单调递增.所以，g(x)g(1)＝0(x0，x≠1).所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.所以当0x1时，h′(x)0，h(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，h′(x)0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增.所以h(x)h(1)＝0.又解：g(x)0即x－1－lnxx0变形为x2－x－lnx0，记h(x)＝x2－x－lnx，则h′(x)＝2x－1－1x＝2x2－x－1x＝2x＋1x－1x，