线性规划在经济管理中的应用

线性规划在经济管理中的应用例设某工厂能够制造A和B两种产品．制造A产品一公斤需要用煤9吨，劳动力3个工作日，电力4千瓦；制造B产品一公斤需要用煤4吨，劳动力10个工作日，电力5千瓦．制造A产品一公斤能获利7千元，制造B产品一公斤能够获利1万2千元，该厂现有煤360吨，电力200千瓦，劳动力300个工作日．问在这些现有资源的条件下，应该制造A和B各多少公斤，才能获得最大利润．建立线性规划模型．解两种产品消耗的资源与获利情况如下表产品A（公斤）产品B（公斤）资源限制煤（吨）94360劳动力（工作日）310300电力（千瓦）45200利润（万元）0.71.2设应制造产品A、B分别为21,xx公斤．则问题的线性规划模型为：212.17.0maxxxz约束条件3604921xx30010321xx2005421xx0,21xx例化工厂现有A，B，C三个等级的原油，提炼甲、乙、丙三类不同的汽油产品，有关数据如下表．问各类产品应分别生产多少，可使工厂利润最大？产品原油甲乙丙资源限量（公斤）每公斤成本（元）A%60%1520007.00B25006.00C%20%60%7022004.00售价（元/公斤）7.505.905.20解：设甲、乙、丙三种产品分别生产321,,xxx公斤，这三种产品分别使用原油321,,iiiyyy)3,2,1(i．则问题的线性规划模型为)467()2.59.55.7(max313312311321jjjjjjyyyxxxz约束条件：111%60xy113%20xy221%15xy223%60xy333%70xy3112000iiy3122500iiy3132200iiy)3,2,1(31ixyijij)3,2,1(0ixi)3,2,1,(0jiyij例汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1，2，3，4种标准汽油，其特性和库存量列于下表1。将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表2。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号飞机汽油满足需求，并使得1号飞机汽油产量最高。表1标准汽油辛烷数蒸汽压力(g/cm2)库存量(L)1107.57.1110-2380000293.011.3810-2265200387.05.6910-24081004108.028.4510-2130100表2飞机汽油辛烷数蒸汽压力(g/cm2)产量需求(L)1不小于91不大于9.9610-2越多越好2不小于100不大于9.9610-2不小于250000设ijx为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量（L），于是14131211xxxx为1号飞机汽油的产量，24232221xxxx为2号飞机汽油的产量。本问题要求14131211xxxxz的最大值，约束条件为：（1）库存量约束3800002111xx2652002212xx4081002313xx1301002414xx（2）辛烷数约束)(910.1080.870.935.1071413121114131211xxxxxxxx)(1000.1080.870.935.1072423222124232221xxxxxxxx（3）蒸汽压力约束)(96.945.2869.538.1111.71413121114131211xxxxxxxx)(96.945.2869.538.1111.72423222124232221xxxxxxxx（4）2号汽油产量约束25000024232221xxxx（5）)4,3,2,1;2,1(0jixij例某农场有100公顷土地及150,000元资金可用于发展生产．农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日．如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为21元/人日，秋冬季为18元/人日．该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡．种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资4000元，每只鸡投资30元．养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工冬秋季为100人日，春夏季为50人日，年净收入为4000元/每头奶牛．养鸡时不占用土地，每只鸡需人工为秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为20元/每只鸡．农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛．三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：大豆玉米小麦秋冬季需人日数春夏季需人日数年净收入（元/公顷）205017503575300010401200试决定该农场的经营方案，使年净收入最大？解用321,,xxx分别表示大豆、玉米、小麦的种植面积（公顷）；54,xx分别表示奶牛和鸡的饲养数；76,xx分别表示秋冬季、春夏季多余的劳动力（人日），则问题的线性规划模型为：76543212118204000120030001750maxxxxxxxxz约束条件：（1）土地限制1005.14321xxxx（2）资金限制15000030400054xx（3）劳动力限制40003.050401755035006.0100103520754321654321xxxxxxxxxxxx（4）牛栏、鸡舍限制30003254xx（5）变量非负限制)7,6,5,4,3,2,1(0ixi，64~xx取整数。例某食品公司下设三个分厂,分别生产熟食品、罐头食品和冷冻食品．三个工厂一共生产八种产品，消耗十种原料，其中两种原料是三个分厂都要用到的，其余八种原料每个分厂分别用其中的若干种，互不影响．表1、表2、表3、表4给出了三个工厂生产的有关数据，要求建立这个问题的线性规划模型．表1熟食品厂IIIIII原料每天供应量ABC243736503101512单位产品利润856表2罐头食品厂产品原料IVVVI原料每天供应量DE31224379单位产品利润979表3冷冻食品厂VIIVIII原料每天供应量FGH857964253020单位产品利润65表4三个食品厂都用的原料数据IIIIIIIVVVIVIIVIII原料每天供应量JK53020346204370103020解用)8,,2,1(ixi分别表示八种产品的产量，则问题的线性规划模型为8765432156979658maxxxxxxxxxz约束条件：30643235876421xxxxxx20734275431xxxxx10342321xxx15637321xxx123531xx723654xxx9342654xxx产品原料产品原料产品原料255887xx309787xx204687xx8,7,6,5,4,3,2,1,0ixi例明兴公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题．该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间．甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可自行生产，但产品丙必须本厂生产才能保证质量．有关情况见下表；公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机加工12000小时，装配10000小时．公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件应多少由本公司铸造？应多少由外包协作？工时与成本甲乙丙每件铸造工时（小时）5107每件机加工工时（小时）648每件装配工时（小时）322自产铸件每件成本（元）354外协铸件每件成本（元）56--机加工每件成本（元）213装配每件成本（元）322每件产品售价（元）231816解设321,,xxx分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，设54,xx分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数．计算每件产品的利润如下：产品甲全部自制的利润：23-（3+2+3）=15（元）产品甲铸造外协，其余自制的利润：23-（5+2+3）=13（元）产品乙全部自制的利润：18-（5+1+2）=10（元）产品乙铸造外协，其余自制的利润：18-（6+1+2）=9（元）产品丙的利润：16-（4+3+2）=7（元）数学模型如下：integer,0,,,,1000023223120004684680007105..91371015max54321543215432132154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxz计算结果：目标函数最优值为29400，600,0,0,0,160054321xxxxx例某昼夜服务的公交线路每天各时间段所需司机和乘务人员数量如下：班次时间所需人数16：00~10：0060210：00~14：0070314：00~18：0060418：00~22：0050522：00~2：002062：00~6：0030设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，能既满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员？解：设ix表示第i个班次开始上班的司机与乘务人员数，这样可以知道在第i班工作的人数应包括第1i班次开始上班的人数和第i班次开始上班的人数，例如应有7021xx。又要求这六个班次开始上班的所有人员最少，即要求654321xxxxxx最小，这样建立如下的数学模型：目标函数：min654321xxxxxx约束条件：取整数,0,,30205060706061655443322161xxxxxxxxxxxxxx本问题的最优解为10,20,0,50,20,50654321xxxxxx，共需150人。例某市场研究小组考虑下一步如何选择广告竞争计划，在大量的调查研究之后，指定了几种可供选择的方案．方案的特征数字如下：电视商业杂志报纸电台流行杂志推销运动可用资源影响人数（万人）1002030404545费用（万元）501530252510120需设计人员（人·时）7002502002003004001500需推销人员（人·时）20010010010010010001200广告的目的是使受影响的顾客数为最大．除上表所给出的资源限制（资金、设计人员、推销人员）外，还有如下约束条件：（1）如果决定发起推销运动，那么必须同时用电台或流行杂志配合；（2）公司不能同时在商业杂志和流行杂志上作广告．假定各种广告手段所影响的顾客不同，不重复（即每一顾客只受一种广告手段影响），问如何开展广告宣传？解用A1~A6分别表示电视、商业杂志、报纸、电台、流行杂志、推销运动等六种广告方式．设，否则如果选用广告方式0,1iiAx)6,,1(i目标函数和资源约束条件容易写出．后面两个附加约束条件可表达为：（1）如果决定发起推销运动，那么必须同时用电台或流行杂志配合．这里电台和流行杂志可以选一种与推销运动配合，也可以两种都选．故546xxx（2）公司不能同时在商业杂志和流行杂志上作广告．该约束条件可描述为：152xx综合起来，该问题的数学模型为：6543214545403020100maxxxxxxxz约束条件：120102525301550654321xxxxxx1500400300200200250700654321xxxxxx12001000100100100100200654321xxxxxx546xxx152xx6,5,4,3,2,11,0ixi注：若问题中的附加条件（1）改为：如果决定发起推销运动，必须选用电台和流行杂志之一与其配合，则该约束条件可描述为：2654546xx