可线性化的回归分析

复习回顾＊线性相关系数r及性质：值越大，变量的线性相关程度就越高；值越接近于0，线性相关程度就越低。rr＊，其中。niiniiniiiynyxnxyxnyxr122122111r当时，两变量正相关；当时，两变量负相关；当时，两变量线性不相关。0r0r0r＊新课讲解下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我国的出口贸易量么？从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好，若用直线来预测，误差将会很大。而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。分析：考虑函数来拟合数据的变化关系，将其转化成线性函数，两边取对数：bxaeybxaylnln即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为x=2，‥变换后的数据如下表：设，则上式变为，acyuln,lnbxcu对上表数据求线性回归方程得：即：,138.0,056.5bcxu138.0056.5xueeey138.0056.5由此可得：，曲线如图：xueeey138.0056.5这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。作变换,ln,ln,lnacxvyu得线形函数。bvcu)0,1(ba)0,1(ba1.幂函数：baxy2.指数曲线：bxaey作变换,ln,lnacyu得线形函数。bxcu)0,(ba0)0,(ba03.倒指数曲线：xbaxy)0,(ba0)0,(ba0作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？思考交流xbaeybvcuxvacyuxba得到线性函数作变换对上式两边取对数,1,ln,lnlnlny倒指数曲线4.对数曲线：xbayln0b0b作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？对数曲线y=a+blnx作变换v=lnx,得到线性函数y=a+bv例1：在彩色显像中，由经验知：形成染料的光学密度y与析出银的光学密度x由公式表示。现测得实验数据如下：试求y对x的回归方程。x0.050.060.250.310.070.10y0.100.141.001.120.230.37x0.380.430.140.200.47y1.191.250.590.791.29)0(bAeyxb解：本例是非线性回归问题。由于题目已给出了所要求的曲线类型。只要通过已知的11对样本数据，把A与b确定下来，就找到了描述x与y的相关关系的一条函数曲线。根据以上分析，将题目所给公式两边取对数，xxeeeyvubvcuxvAcyuxbAy146.0146.0549.073.1146.0549.0,,1,ln,lnlnln则可得就有作变换例2：某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得下表检验每本书的成本费y与印刷册数的倒数是否具有相关关系，如果有，求y对x的回归方程x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15解析：因为每册书的成本费y与印刷册数x是不具有线性相关关系的，但y与之间可能具有线性相关关系，不妨设变量，根据题意对u于y作相关性检验首先做变换，题目所给数据变成如下变所示的数据u10.50.330.20.10.050.030.020.010.005y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15x1xu1xu1可以求得r=0.9998由r=0.99980.75，因此，变量y与u之间具有较强的线性相关关系，并求得b=8.973,a=1.126,最后回代，可得因此，y对x的回归方程为xu1xy973.8126.1xy973.8126.1小结＊非线性回归方程：对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进行研究，最后再转换为非线性回归方程。＊常见非线性回归模型：1.幂函数：baxy2.指数曲线：bxaey3.倒指数曲线：xbaxy4.对数曲线：xbayln