5.6.1-正弦定理和解斜三角形

5.6.1正弦定理和解斜三角形5.6.1LawofSinesandSolutionsofTriangles引例Thecitedcase某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，已知B在A的正东方向10千米处，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情，在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情发生在北偏西方向，问：C距离A、B多远？4060能否把这个实际问题抽象为数学问题？如图，在中，已知千米，求与的长。ABC130,30,10CABCBAABACBC引例ThecitedcaseABC解斜三角形问题SolutionsofTriangles•斜三角形定义(DefinitionofObliqueTriangle)：除了直角三角形以外的三角形，包括锐角三角形及钝角三角形•解斜三角形问题(SolutionsofTriangles):已知一个斜三角形的三个元素（其中至少有一条边），求其它的元素以及三角形面积探究一•在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？已知为直角三角形，则有，，，于是有关系式：ABCsinaAcsinbBcBCA0sinsin901CsinsinsinabcABCcab探究二•上述结论能否推广到斜三角形？1、当是锐角三角形时，设边上的高是，根据三角比的定义，有，则同理，（思考：如何作高？）从而ABCBCADsinsinADcBbCsinsincbCBsinsinacACsinsinsinabcABC探究二•上述结论能否推广到斜三角形？2、当是钝角三角形时，还有上述直角以及锐角三角形中的相应结论吗？请自主探究，说明理由。ABC正弦定理LawofSines三角形中，sinsinsinabcABCAabcCB各边与它对角的正弦的比相等结论1Conclution1注意：正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广探究三•正弦定理的另一种证明方法（等积法）在中，同理可得，，于是有两边同除以即得：ABCABCS11sin22ADBCacBABCS1sin2abCABCS1sin2bcAABCS111sinsinsin222abCacBbcA12abcsinsinsinabcABC结论2Conclution2三角形面积公式AabcCB三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半111sinsinsin222abCbcAacBS如图，在中，已知千米，求与的长。ABC130,30,10CABCBAABACBC引例ThecitedcaseABC解：1801303020CsinsincAaC10sin130sin2022同理：sinsincBbC10sin30sin2015引例解答由三角形内角和为180，可知ABC4060因此，火场C在距离观测点A北偏西方向的约15千米处，在距离观测点B北偏西方向的约22千米处。两角一夹边例1已知在010,45,ABCcA中，030,,CabB求和分析：两角一对边06,45,ABCcA中，例2已知在2,,abBC求和分析：两边一对角133aaa思考：(1)当时，C有几个解？(2)当时，C有几个解？(3)当时，C有几个解？,60,30BbABC中，。例3已知在CAac,,1和求分析：两边一对角【变式】在02,135,3,ABCaAbB中，求总结•应用正弦定理可以解决的三角形问题：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其它的角和边☆两角一对边（如）：直接用☆两角一夹边（如）：求第三个角（用三角形内角和为）②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其它的角和边（如）：直接用aBA,,cBA,,caA,,180总结•对于已知两边一对角的题型，利用正弦定理求角有可能会出现两解的情况，但是两个解不一定都符合题意，可以通过分析三角形大边对大角的理论或者与已知角求和大于180°来进行取舍。（1）根据下列条件，求三角形的其余角和边(3)14,76,60abB(4)232,,453abB(结果精确到0.01)(1)60,45,20(2)20,11,80ABcabA作业（2）课本P69：EX2，32.《导学》P77~78，81~82，87~883.整理笔记1.作业本1(共7题)0(5)3,60,1bBc