003-陀螺经纬仪定向

35第三节陀螺经纬仪定向将陀螺特性与地球自转有机结合构成的陀螺仪能够自动寻找真北方向，将这样的陀螺仪安装在经纬仪上，组成的陀螺经纬仪便可以测定真北方向在经纬仪水平度盘上的读数N，从而可求出任一方向的真方位角。这一工作称为陀螺经纬仪定向观测，或陀螺经纬仪定向测量，或简称陀螺经纬仪定向（gyro-theodoliteorientation）。如图3-1，C、D为地面上两点，在C点上安置陀螺经纬仪，测得真北方向在经纬仪水平度盘上的读数N，D方向在水平度盘上的读数为rCD，则可求得地理方位角CD=rCDN(3-1)和高斯平面直角坐标方位角TCD=CDC(3-2)其中C=(CLC)sinCC，C为天文经度，LC为大地经度，C为天文纬度，C为C处的子午线收敛角。陀螺特性的发现与应用始于我国西汉末年，将陀螺技术应用于测北定向则是由于近代航海与采矿业发展的需要。法国人L.Foucault1852年创造了第一台实验陀螺罗经；德国人H.Anschütz制成第一台实用陀螺罗经样机；德国人M.Schuler1908年首次制成单转子液浮陀螺罗经，用于军事和航海；在船用陀螺罗经的基础上，1949年德国Clausthal矿业学院O.Rellensmann研制出MW1型子午线指示仪，并于1958年研制出金属带悬挂陀螺灵敏部的KT-1陀螺经纬仪。此后的几十年间，世界各国先后开展了陀螺经纬仪的研制工作，相继生产出多种型号的产品。依仪器结构和发展阶段，可将各种陀螺经纬仪划分为液体漂浮式、下架悬挂式和上架悬挂式三种类型。液体漂浮式陀螺经纬仪的结构特点是将陀螺转子装在封闭的球形浮子中，采用液体漂浮电子磁定中心，陀螺转子由空气压缩涡轮机带动三相交流电机供电，全套仪器重达几百千克，一次定向需几小时，陀螺方位角一次测定中误差为1～2。这是陀螺经纬仪的早期型式。下架悬挂式陀螺经纬仪则是利用金属悬挂带把陀螺房悬挂在经纬仪空心轴下，悬挂带上端与经纬仪的壳体相固连；采用导流丝直接供电方式，附有携带式蓄电池组和晶体变流器。相对于液浮式，下架式陀螺经纬仪在定向精度、定向时间以及仪器的重量和体积上都产生了飞跃式改进。上架式陀螺经纬仪的结构特征是，用金属丝悬挂带把陀螺转子（装在陀螺房中）悬挂在灵敏部的顶端，灵敏部可稳定地联接在经纬仪横轴顶端的金属桥形支架上（该支架需预先制做、安装），不用时可取下，也就是说，灵敏部实CDN真北xCCDTCD图3-1用陀螺经纬仪测量方位角36际上相当于经纬仪的一个附件，这是仪器朝更方便使用的一种改进。本节以上架式陀螺经纬仪为例进行讨论。一、摆式陀螺仪的寻北原理绕自身轴高速旋转的匀质刚体，称为陀螺仪(Gyroscope)。下面先给出陀螺仪的有关物理性质。㈠、陀螺仪的基本特性设陀螺仪的自转角速度为ω，如图3-2所示，定义动量矩ωHJ(3-4)其中J为陀螺转子对自转轴的转动惯量，定义式为dmrJ2(3-5)其中r为微分元dm到自转轴的距离。若对陀螺施加一外加力矩M，则M与H的关系可由动量矩定理给出MHdtd(3-6)对此式我们做如下讨论：当HM//时，二者的数量关系类同式(3-6)，为MdtdH(3-7)其中正负号分别对应二者同向与反向两种情况。或者写成MdtdJ(3-8)式(3-8)称为刚体的转动规律。当HM时，M将不影响H的数量大小，而仅改变其方向。设方向改变的角速度为Pω，则由图3-3可得关系式HHωddt)(P(3-9)或写成Hω图3-2ω与H的方向HPωHdHHdPdt图3-3进动角速度Pω之定义37dtdHHωP(3-10)结合式(3-6)，则有MHωP(3-11)因上式中三者方向相互垂直，故数值关系也为PPJHM(3-12a)或JMHMP(3-12b)H的方向变化，也就是陀螺仪自转轴的变化，实际上是一种转动，这种转动称为陀螺的进动，Pω称为进动角速度。陀螺仪在外力矩作用下产生进动的性质，称为陀螺的进动性。式(3-11)完整地表达了陀螺轴进动角速度与外力矩的关系，其中的方向关系示于图3-4中。在式(3-12)中，若M=0，则显然有P=0。即无横向外力矩作用时，陀螺仪的自转轴方向保持不变。这一性质称为陀螺的定轴性。对于一般的情况，显然可将外力矩M分解为两个分量，其中一个分量与H平行，另一个分量与H垂直，也就是说，这时M将对陀螺仪产生式(3-8)和式(3-11)两种影响。㈡、陀螺仪转动的微分方程将陀螺仪放置于如图3-5所示的惯性坐标系(例如以地球为惯性参考系)中。将陀螺仪所受的外加力矩分解为Mx、My、Mz三个分量。现在考察Mx，它将产生三个方面的影响，其一使陀螺仪绕x轴转动：dtdJxx；另一使zH绕y轴进动：yzH；第三使yH绕z轴进动：zyH。所以有关系HωPωM(a)图3-4陀螺进动中各量之间的方向关系(b)MP图3-5陀螺仪转动的微分方程xxxMHωyyy,,MHωzzz,,MHω38xxxyzzydMJHHdt(3-13a)同理可得yyyzxxzdMJHHdt(3-13b)zzzxyyxdMJHHdt(3-13c)㈢、自由陀螺仪自转轴在地表面上的关系在研究地球自转及其与陀螺仪转动的关系时（陀螺经纬仪正是巧妙地利用这个关系发明的），我们必须以太阳或其它恒星作为惯性参考系，而不能以地球作为惯性参考系。首先，我们研究自由陀螺仪之自转轴在地表面上的摆动情况。所谓自由陀螺仪是指陀螺轴在空间三维方向均可自由转动的陀螺仪，或称为三自由度陀螺仪，具体结构可如图3-6所示。我们知道，在以太阳或其它恒星作为参考的惯性空间中，地球的自转角速度为E=1转/日≈7×10-4转/分≈7×10-5弧度/秒。现在，在地表面上纬度为的某点水平放置一个三自由度陀螺仪，陀螺仪自转轴与子午面的夹角为0，如图3-7所示。将地球自转角速度E沿铅垂线、图3-6三自由度陀螺装置天顶3真北北极E120x3北极南极12E0图3-7地球自转角速度的分解39陀螺自转轴以及与铅垂线、陀螺自转轴均垂直的三个方向进行分解，得分量角速度sinE1(3-14)0E2sincos(3-15)0E3coscos(3-16)其中3使陀螺仪的自转角速度增加到(+3)，因3，故3可忽略，即陀螺自转角速度仍为。在无外力矩作用时，陀螺轴在惯性空间中的指向不变。因此，地球的自转将改变陀螺轴与地表面的关系。其中1使陀螺轴逐渐偏离真北方向（实际上是在以太阳为参考的惯性系中，子午线远离陀螺轴），2使陀螺自转轴与地平面的夹角逐渐加大（该角用表示）。自由陀螺仪不能用来寻北。㈣、地球自转对摆式陀螺仪的影响如果在三自由度陀螺仪的自转轴上杆连一质量为m的刚体，则其自由度成为二个半，称为摆式陀螺仪，如图3-8所示。将摆式陀螺仪水平放置于纬度为的地面点时，如图3-9所示，则由2引起的将对陀螺仪产生一外力矩GlMP(3-17)其中l由陀螺仪重心指向重物重心，G为重物的重力图3-8摆式陀螺仪(2.5个自由度)图3-9摆式陀螺仪因地球自转产生外力矩ABAB初始状态时刻tEgGmgGmll40gGmg为重力加速度，G和g的方向指向地球中心（重心），l与G的夹角为。当很小时，sin=。令mglMG(3-18)则外力矩的大小为GPMM(3-19)PM的方向在图3-9中垂直纸面向里（陀螺轴在纸面内，故也有HMP），它将使陀螺轴产生进动角速度Pω，其关系为PPMHω(3-20)其中ωHJ为陀螺自转动量矩。Pω在H与PM形成的平面内，方向向上，将使陀螺轴转向真北方向，其大小为HMHMGPP(3-21)结合图3-10，现在分析的变化情况。由2引起，2＝Ecossin，随着陀螺轴接近真北，2逐渐接近0，逐渐接近最大值，P也逐渐接近最大值，也就是说，陀螺轴将于最快速越过真北方向；越过真北方向后，2为负值，逐渐变小，在为0前，陀螺轴继续向左（西）转动；当为0时，P为0，（陀螺轴暂时停止），但2的绝对值最大，符号为负，因此将导致向负值发展，这将导致陀螺轴向右（东）转动靠近真北方向；……；陀螺轴围绕真北作往复摆动。㈤、摆式陀螺仪的运动方程在上面，我们定性叙述了摆式陀螺仪自转轴在地球自转影响下将围绕真北方向作往复左右摆动。现在，我们建立陀螺轴的摆动方程。设某时刻摆式陀螺仪与真北方向的夹角为，与地平面的倾角为，在此刻建立（以太阳为参考的）惯性空间中的xyz坐标系如图3-11所示，其中x轴与陀螺自转(a)PM真北方向PHPω图3-10摆式陀螺进动方向PM真北方向PHPω(b)41轴一致，z轴与x轴垂直、与铅垂线的夹角为，y轴与x、z轴构成右手坐标系。设此刻存在dtd、dtd，则陀螺仪在惯性空间中的转动角速度为sin)sin(sincossin)cos(EE1zEE2y3xdtddtddtddtddtddtd(3-22)动量矩为Hx=Jxx=J=H相对于Hx取Hy=Hz=0外力矩为Mx=0;My=–MG;Mz=0又22z22ydtddtddtddtd(3-23)将以上结果代入式(3-13b)、(3-13c)得H)sin(E22GdtddtdJMy(3-24a)HdtddtdJM)sincos(E22zz(3-24b)式(3-24a)两边对t求导，并略去33dtd得22GdtdMHdtd(3-25)x北极南极E图3-11临时惯性参考系yz42代入式(3-24b)，则有sincos)(E22G2zzHdtdMHJM(3-26)为使上式容易求解，需控制数值，使sin=成立。另外，人们又将Dk=HEcos(3-27)称为陀螺力矩，将Mk=Dksin=Dk(3-28)称为指向力矩。这样，可将式(3-26)写成zk22G2z)(MDdtdMHJ(3-29)在Mz=0时，式(3-29)的一般解式为)(π2sin0AttTA(3-30)其中A、t0为积分常数，实际意义为陀螺摆幅和初相时间，由具体过程的初始状态所决定。摆动周期TA的表达式为cosπ2π2EGKG2zAMHDMHJT(3-31)令EG0Aπ2MHT(3-32)则cos0AATT(3-33)将式(3-30)代入(3-24a)并忽略22dtd，整理得陀螺轴的倾角方程)(π2coscossin0AGEGEttTMHAMH(3-34)令43GE0sinMH(3-35)GE0maxcosMHA(3-36)则式(3-34)成为)(π2cos)(0A0max0ttT(3-37)将式(3-30)与式(3-37)合并消去t，得120max02A(3-38)该椭圆反映了陀螺轴在空间的运动轨迹。其中A)(0max(3-39)最后要指出的是，上面讨论的所有角度如、等均以弧度计。二、上架式陀螺经纬仪的结构一套完整的上架式陀螺经纬仪由经纬仪、陀螺仪、经纬仪与陀螺仪连接装置以及电源箱等四部分构成，如图3-13所示。其中，经纬仪（包括三脚架）与普通测量中所使用的完全一样，只是需在其上部安装一个专用的桥形支架，以用于陀螺仪的安置。该桥形支架与陀螺仪底部的螺纹压环等构成所谓的连接装置，支架顶部的三个球形顶尖可插入陀螺仪底部的三条向心“V”形槽，形成强制归心，然后旋动螺纹压环即可实现陀螺仪与经纬仪的