勾股定理章末小结与提升

章末小结与提升类型1勾股定理典例1如图,已知∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°.求BC的长.【解析】∵∠ABD=90°,∠DAB=30°,∴BD=AD=×12=6.在Rt△ABD中,AB2=AD2-BD2,∴AB=√-=6√.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2=108.∴BC=3√.【针对训练】1.如图,P为等腰△ABC内一点,过点P分别作三条边BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,已知AB=AC=10,BC=12,且PD∶PE∶PF=1∶3∶3,则AP的长为(B)A.B.C.7D.82.(绵阳中考)如图,沿AC方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=150°,沿BD的方向前进,取∠BDE=60°,测得BD=520m,BC=80m,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为(C)A.180mB.260√mC.(260√-80)mD.(260√-80)m3.(荆州中考)《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺,问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为(D)A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)24.(陕西中考)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与点A重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为(A)A.3√B.6C.3√D.√5.如图,△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,AD=15,且AD⊥AC,求BD长.解:∵AD⊥AC,AC=20,AD=15,∴CD=√=25,∴BD=BC-CD=32-25=7.类型2勾股定理的逆定理典例2在△ABC中,a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n0)为三边,这个三角形是直角三角形吗?【解析】∵c-a=(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10,c-b=(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n20,∴c边为三角形的最大边,又∵c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,a2+b2=(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,∴a2+b2=c2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC为直角三角形.【针对训练】1.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,则S△ABC=10.5.2.已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=13,AC=8,则BD2-DC2=105.3.如图,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证:AB⊥AD.解:延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,BE.∵D为BC的中点,∴CD=BD.又∵AD=DE,∠ADC=∠BDE,∴△ADC≌△EDB,∴BE=AC=13.在△ABE中,AE=2AD=12,∴AE2+AB2=122+52=169.又∵BE2=132=169,∴AE2+AB2=BE2,∴△ABE是直角三角形,且∠BAE=90°,即AB⊥AD.类型3逆命题与逆定理典例3写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假.(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数;(2)三边分别相等的两个三角形全等.【解析】(1)逆命题:如果ab是无理数,那么a,b都是无理数,此命题是假命题.(2)逆命题:如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别相等,此命题是真命题.【针对训练】1.下列命题:①若1,则ab;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A.1个B.2个C.3个D.4个2.命题:“若a=b,则a2=b2”,写出它的逆命题:若a2=b2,则a=b.3.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题.【解析】“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上”.此逆命题为真命题.已知:如图,CA=CB.求证:点C在线段AB的垂直平分线上.证明:解:作CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△ADC和△Rt△BDC中,{∴Rt△ADC≌△Rt△BDC,∴AD=BD,∴CD垂直平分AB,即点C在线段AB的垂直平分线上.