26正弦波加窄带高斯噪声

2.6正弦波加窄带高斯噪声信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。设合成信号为r(t)=Acos(ωct+θ)+n(t)(2.6-1)式中,n(t)=nc(t)cosωct-ns(t)sinωct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为σ2n；正弦信号的A,ωc均为常数，θ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。r(t)=［Acosθ+nc(t)］cosωct-［Asinθ+ns(t)］sinωct=zc(t)cosωct-zs(t)sinωct=z(t)cos［ωct+φ(t)］(2.6-2)式中zc(t)=Acosθ+nc(t)(2.6-3)zs(t)=Asinθ+ns(t)(2.6-4)合成信号r(t)的包络和相位为z(t)=0,)()(22ztztzsc20,)()(arctan)(tztztcs利用上一节的结果，如果θ值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有E［zc］=AcosθE［zs］=Asinθ222nsc所以，在给定相位θ的条件下的zc和zs的联合概率密度f(zc,zs/θ)=])sin()cos[(21exp212222AzAzscnn利用上一节相似的方法，根据式（2.6-3）、（2.6-4）可以求得在给定相位θ的条件下的z和φ的联合概率密度函数为f(z,φ/θ)=f(zc,zs/θ)),(),(asc=z·f(zc,zs/θ))]cos(2[exp2222122AzAzznn求条件边际分布，有dzfzf)/,()/(20202exp2nzdAzAzn)]cos(2[22212dAAzzznn)]cos(exp[)2exp(220202222由于)(cos]exp[21020xIdx故有)()]cos(exp[2120202nZnzAIdA式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x≥0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。f(z/θ)=由上式可见，f(z/θ)与θ无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为)()](21exp[202222nznnAIAzz0),()](21exp[)(202222zAIAzzzfnznn这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。上式存在两种极限情况：（1）当信号很小，A→0，即信号功率与噪声功率之比=r→0时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.6-8）近似为式（2.5-21），即由莱斯分布退化为瑞利分布。（2）当信噪比r很大时，有I0(x)≈，这时在z≈A附近，f(z)近似于高斯分布，f(z)≈由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图2-7（a）给出了不同的r值时f(z)的曲线。xex2222nA222)(exp(21nAzx关于信号加噪声的合成波相位分布f(φ)，由于比较复杂，这里就不再演算了。不难推想，f(φ)也与信噪比有关。小信噪比时，f(φ)接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f(φ)主要集中在有用信号相位附近。图2-7（b）给出了不同的r值时f(φ)的曲线。图2–7正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布nf(z)0.50.40.30.20.1r＝0nAz(a)－0r＝0f()(b)0r＞＞1r＞＞1－