排列与排列数公式

排列与排列数公式问题1北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？起点站终点站北京上海北京北京上海上海广州广州广州飞机票北京北京北京北京上海广州上海上海上海广州广州广州我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是，所提出的问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。1234121314123124132134142143343231312314342321324341212324213214231234241243414243412413421423431432问题2由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？排列与排列数一、排列定义()nmmnnm从个不同的元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。只有用相同的元素，又按相同的顺序组成的排列，才叫做相同的排列。1,,,43abcd例写出从个元素中，任取个元素的不同排列。,,,,,abcabdacbacdadbadc解：,,,,,bacbadbcabcdbdabdc,,,,,cabcadcbacbdcdacdb,,,,,dabdacdbadbcdcadcb24共个二、排列数定义()mnnmmnnmP从个不同元素中，任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示。第1位第2位nn-1)(12nnPn······第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-m+1)()()(121mnnnnPmn三、排列数公式：(1)(1)mnPnnnm(1)321nnmnPnn特别地，当时，有公式，!nnnnPn这是从个不同元素中，取出全部元素参加排列的排列数，叫做个不同元素的，记作全排列数。!0!()!0!1mnnPmnnm这样，。注意，当时，分母就变成，为使公式仍然成立，规定特别。公式特点：1mnm21n1因数是个因数相乘，最后一个共有；面的因数小后面的每个因数都比前第一个因数是)(,)(4-k1kP1）例：计算：（)!()!(312nn）（)())((2nm3m2m1）（各式：例：用排列数表示下列))()((9m4m1m2222m）（61kk1k51k4k1k1k1)()()!()!()!(）原式（))(()!()!)()((2133212nnnnnn）原式（1]1)-nm3m2m1([))((）原式（12nmP))()((3m322)(m1)(m-1)(mm2mm）原式（73mP1x9x84P3P例：解方程：8x91x8xNx*由题意得：)!(!)!(!x1094x883且)!()!(x1012x81)!)()(()!(xxx891012x816x的个位数例：求!!!!100210120524463221110!,!,!,!,!,!4543210的个位数是!!!!!!,!]))(([!5672n1nnn5n时，当,0此时个位数是4原式的个位数也是11121111118.(1)(1)!!!11!22!1010!(2)(2)(3)(2)(4)kknnnnnnnnmmmnnnnnnnPnPnPPnPnPmPP求证：，并求。求证：求证：求证：(1)(1)!!(1)!!!nnnnnnn证明：(2!1!)(3!2!)(4!3!)(11!10!)原式11!1(2)(1)(2)(1)knPnnnnk(1)(2)[(1)(1)1]nnnnk11knnP例：11121111118.(1)(1)!!!11!22!1010!(2)(2)(3)(2)(4)kknnnnnnnnmmmnnnnnnnPnPnPPnPnPmPP求证：，并求。求证：求证：求证：11(3)(1)!!!nnnnPPnnnn(4)(1)(1)(1)(2)nnnmmnnnm左边(1)(1)(2)nmmnnnm(1)[(1)1]nnnm2211(1)!nnnnnP1mnP右边例：11129(5)(1)!!(1)!2!3!10!211(6)!(1)!(2)!(1)!(2)!nnnnkkkkkk求证：，并化简：。求证：11(5)(1)!(1)!nnnn证明：111111111!2!2!3!3!4!9!10!原式2(6)![1(1)(1)(2)]kkkkk左边1!(2)kk1111(1)!(1)!!(1)!nnnnn1110!22!(44)kkkk1(2)!kk2111(2)!(1)!(2)!kkkk右边342(7)1!2!3!2!3!4!!(1)!(2)!nnnn求和：1111112!3!3!4!(1)!(2)!nn解：原式112(2)!n21,2,,93例用中任意个不同数字构成三位数，共有几个不同三位数？39987504P解：363例从个同学中，选人任组长、副组长和干事，共有几种？36654120P解：45例安排人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工，已知甲不能当钳工、油漆工，问有几种方法？解法一：解法二：2343433!72PP先考虑谁当钳工、油漆工，143434!72PP先考虑甲，四、几种特殊的排列1.优先排列56例人排一排，甲不在头，也不在尾，有几种排法？()特殊位置头和尾解法一：2454480PP解法二：()特殊元素甲1545480PP解法三：间接法65652480PP2.集团排列（捆绑法）643例已知男女排成一排，①男一起；②女一起；③男一起，女一起，分别有几种排法？3535720PP②432432288PPP③44P1第一步：排男生有)(44P有一起后看作一个整体，第二步：把男生捆绑在576PP4444共有3.间隔排列743例已知男女排成一排，①男不一起；②女不一起；③男不一起，女不一起，分别有几种排法？43451440PP②3434144PP③33P1第一步：排女生有)(44P4个空位排男生，即两端共有第二步：女生之间加上441PP4433共有844例已知男女排成一排，男不一起且女不一起，有几种排法？解：或4314421152PPP4.有序排列95例已知人比赛跑步，甲比乙快，有几种情形？解：甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多，55/260P10,,,,,,,abcdefabc例，按顺序的排列有几种？6633120PP解：1163例书架上有本书，插入本，要求不改变原顺序，有几种插法？9966987504PP解：2.(1)(2)(3)(4)七人站成一排照相有几种站法？若甲必须站在中间，有几种站法？若甲不能站两端，有几种站法？若甲、乙必须相邻，有几种站法？77(1)5040P解：66(2)6720P先将其余人排好，再将甲插在中间即可。1656(3)3600PP6262(4)1440PP先合后分。综合练习5.1,2,,95从中取出个，组成无重复数字的五位数。规定奇数数字必须排在奇数位号，求这样的五位数的个数。解：偶数位上只能放偶数，而奇数位上皆可。23472520PP共有个9.1~884穿有号运动衣的位运动员排成一排，其中号运动员必须排在号码比他大的运动员左边，共有几种排法？x解：设有种排法，45,6,7,8x把号分别与号运动员互换位置，仍然分别得到种排法。8858!xP8064x10.2534(1)(2)(3)(4)名教师，名学生排二排照相，前排人，后排人。共有几种排法？两教师在前排？两教师相邻且在前排？教师甲在前排，乙在后排？解：本题关键在于将两排对应到一排。2535(2)720PP125225(3)2480PPP将教师作为一个整体，先合后分，115345(4)1440PPP77(1)5040P12.104个同学排一队行走，要求女相邻，且既不走前面，又不走后面，问有几种排法？16456486400PPP解：13.1,2,,7(1)(2)(3)用排成无重复数字的七位数。偶数不相邻，有几种排法？偶数一定在奇数位上？奇数位上一定是奇数，偶数位上一定是偶数？4345(1)PP解：间隔排列。3444(2)4PP先在个奇数位上排偶数。4343(3)PP14.38人坐个位置，要求每人两旁都为空位，有几种？5解：由题意，有个空位。543只要在个空位之间的个间隔插入人即可。3424P有种。15.963个座位坐人，要求个空位各不相邻，有几种？637解：先将人排好，再将个空位插入个间隔中即可。3个空位是相同的，6367/3!25200PP共有个。16.8234有名划船手共划一条船参加比赛，其中人只能左，人只能右。现要使两边各有人，分别负责不同岗位，问：有多少种安排方式？3解：有人能左能右，在其中选一人到右边。1443441728PPP