函数与方程思想

函数与方程思想刘江华数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括。它是从整体和思维的更高层次上指导考生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径。通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。数学思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化。第一轮复习中，数学思想尚处于隐含、渗透的阶段。第二轮复习有必要明确地突出其重要作用，使考生清楚地认识到只有在数学思想的指导下的解题活动，才是科学的解题活动，才具有很强的能动作用和创造作用。从高考的实际出发，本书只强调现行热点的函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝。函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。因此，越来越成为数学高考的长考不衰的热点。函数思想在高考中的应用主要是函数的概念。性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。包括待定系数法，换无法、转换法和构造方程法四个方面。函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数；合参数的方程f(x,y,t)=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。1．显化函数关系在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而使用函数知识或函数方法使问题获解．例题1．在数列{an}中，a1＝15，以后各项由an+1＝an－，求数列{an}的前n项和的最大值．2．转换函数关系在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解．例题2．已知函数f(x)=,其中为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的取值范围．3．构造函数关系在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论、通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造某些函数关系，利用函数思想和方法使原问题获解，是函数思想解题的更高层次的体现，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．例题3．a为何值时，不等式a2＋2a－sin2x－2acosx＞2对任意实数x都成立．依次解得a＜－2－或a≠0或a＞，故所求a的取值范围是a＜－2－或a.②在解题中综合使用了函数思想，数形结合思想，分类讨论思想和化归思想及换元法，对思维品质要求较高．例题4．如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：距离的概念常由最小值定义，故可设法将点B到平面的距离通过构造函数关系，建立一个二次函数关系式，转化为二次函数的最值解决．4．建立函数关系对于实际问题，在正确过好事理关，文理关，明白题意后，根据题目的要求，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点．例题5．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四旁四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值．5．待定系数法把题目中待定的未知数（或参数）和已知数的等量关系揭示出来，建立方程（组）求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．例题6．是否存在常数a，b，c，使得等式1·22+2·32+3·42+……+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？并证明你的结论．6．转换方程形式把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，有关方程的解的定理（如韦达定理，判别式、实根分布的充要条件）使原问题获解，是方程思想应用的又一个方面．例题7．设二次函数f(x)＝ax2十bx十c（a＞0），方程f(x)－x=0的两个根满足0x1x2,（1）当x∈(0，x1）时，证明：xf(x)x1；（2）设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0＜.分析：本例是有一定难度的代数推理题，审题中要细心分清函数f(x)与方程f(x)－x＝0是两个不同的条件，x=x0是函数f(x)的对称轴，x1，x2则是方程f(x)－x=0的根，它们之间的联系通过a，b，c隐蔽地给出，因而充分利用二次函数的性质，引进辅助函数g(x)＝f(x)－x，凸现已知条件的联系，是解题的关键．证明：（1）令g(x)=f(x)－x，因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以不妨设g(x)=a(x－x1)(x－x2),当x∈(0,a1)时，由于x1＜x2，∴(x－x1)(x－x2)0,又a＞0,∴g(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x),而x1－f(x)=x1－x+x－f(x)=x1－x－g(x)=x1－x－a(x－x1)(x－x2)=(x1－x)[1+a(x－x2)],又∵0xx1x2,∴x1－x0,1+a(x－x2)=ax+1－ax21－ax20,得x1－f(x)0,∴f(x)＜x1即xf(x)＜x1;（2）由题意知x0=－,∵x1，x2是方程f(x)－x=0的根，即x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋2=0的根．∴x1+x2=,∴x0=－==x1+(x2－),∵x2,∴x0.点拨解疑：①本题为1997年理科24题，由于缺乏用方程思想解题的意识和能力，不会转换方程形式，沟通与二次函数的联系，加之题中涉及字母多达6个（x，x1，x2，a，b，c）不会处理．当年平均得分仅为1分，难度系数为0.09、说明方程思想对解题能力提高很重要．②从二次方程根的研究应注意从代数形式与几何意义两方面进行，并相互联系，促进深化．代数形式上应全面考虑根的判别式面，根与系数的关系（韦达定理）与求根公式．几何意义上应全面考查抛物线的顶点、张口方向，对称轴，单调区间及实根分布的充要条件．③超越方程（对数方程等）的解的情况研究适宜于转换为二次方程的实根分布解决．7．构造方程法分析题目中的未知量，根据条件布列关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．例题8．已知tanαtanβ=3，tan=2，求cos(α+β).例题9．已知x∈[,2],求函数y＝的最小值．∴ymin=,此时x=或x=2.8．建立方程模型数学应用题的数学模型为方程，或必须使用待定系数法确定某些字母的值时，应建立相应的方程（组），把问题转化为方程求解．例题10．某车间生产某种产品，固定成本2万元，每生产1件产品成本增加100元．根据经验，当年产量少于400件时，总收益R(成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的二次函数，当年产量不少于400件时，R是Q的一次函数，以下是年产量Q与总收益R的部分数据：Q（件）50200350500650R（元）2375080000113750125000132500试问每年生产多少件产品时，总利润最大？最大总利润是多少元？y=R－100Q－20000=,当Q＜400时，y是增函数，所以y60000，当Q≥400时，y是减函数，所以y≤－50×400＋80000＝60000，故每年生产400件时产品利润最大，最大利润为60000元．点拨解疑：①应用方程模型解应用题是一种基本题型．审题时务必审清题意，过好事理关，读懂符号语言、图形、表格与专业用语，过好文理关．②解完后，应根据实际问题反思，评价解的合理性．9．函数思想与方程思想的联用在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的联用．例如函数思想与方程思想的联用．它们间的相互转换一步步使问题获得解决，转换的途径为函数十方程十函数，或方程十函数一方程．例题11．若抛物线y＝－x2十mx－1和两端点A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．故m的取值范围是(3,].基本练习题1．若数列中{an}中，a1=15,以后各项由an+1=an－确定，则{an}的前项之和最大。2．如图,斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱长为7，底面△ABC与相邻两侧面AB1、AC1均成60°角，则此棱柱的高为。3．若方程x2－(2—a)x＋(5—a)=0的两个根都大于2，则实数a∈。4．已知1xd，令a=(logdx)2，b=logd(x2)，c=logd(logdx)，则()A．abcB．acbC．cbaD．cab5．长方体的共顶点的三个面的面积分别是12cm2、8cm2和6cm2，则它的体积是.6．如果实数x、y满足x2＋y2=1，那么(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值和最大值1B．最小值而无最大值C．最大值1而无最小值D．最大值1和最小值7．若关于x的方程+＋a+1=0有实根，则实数a的取值范围是。8．要挖一个面积为800m2的长方形鱼池，并在四周修出宽分别为1m、2m的小路，则鱼池与路占地总面积的最小值是.9．方程ax＋x2=2(a＞0，a≠1)的解的个数为()A．0B．1C．2D．无法判定10．一等差数列的前10项之和为100,前100之和为10，则前110项之和为()A．－90R．90C．－110D．11011．设x∈(0，4]，若不等式＞ax恒成立，求实数a的取值范围．12．已知不等式a·－＋a＞0恒成立，求实数a的取值范围．13．设集合A={x|x2－4x+30}，B是关于x的不等式组的解集，试确定实数a的取值范围，使AB14．已知方程x2十mx＋m＋1=00的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求实数m的取值范围．高考常考题强化训练一．选择题：1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)=a（a是常数）应（A）有且仅有一个实根（B）至多有一个实根（C）至少有一个实根（D）不同于以上结论2．直线y＝kx＋8与x轴、y轴都相交，交点记为A、B，△OAB的面积为S，则下面结论正确的是（A）S不是k的函数（B）S是奇函数（C）S是偶函数（D）S是k的函数，但为非奇非偶函数3．设x∈R如果a＜lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，那么（A）a≥1（B）a1（C）0a≤1（D）a14．已知f(x)=asinx+b+4(a,b为实数),f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（A）－5（B）－3（C）3（D）随a,b取不同值而取不同值5．已知an=(n∈N)，则在数列{an}的前30项中，最大项与最小项分别是（A）a1,a30（B）a1,a9（C）a9,a10（D）a10,a30二．填空题：6．若关于x的方程|x2－6x+8|=a恰有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是.7．函数f(x)=lg[x2+(k+3)x+]的值域为R，则实数k的取值范围是.8