高考数学【套路汇总】

数学复习高中数学必修一、高中数学必修二、高中数学必修三、高中数学必修四、高中数学必修五、第一章、集合一、基础例题（必会）例1已知243AyyxxxR，，222ByyxxxR，，求AB．例2若322427Aaaa，，，223211122(38)372Baaaaaaaa，，，，，且25AB，，试求实数a．二、趋近高考（必懂）1.设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______________2.设集合A=22{(,)|1}416xyxy，B={(,)|3}xxyy,则A∩B的子集的个数是（）三、集合与常用逻辑用语3.若2:3840:(1)(2)0pxxqxx，，则p是q的（）．（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.若kR，则“3k”是“方程22133xykk表示双曲线”的（）．（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件四、集合与函数5.已知集合2{2}{2}PyyxxQxyxxRR，，，，那么PQ等于（）．（A）（0，2），（1，1）（B）｛（0，2），（1，1）｝（C）｛1，2｝（D）{2}yy≤五、集合与方程6.已知2{(2)10}{0}AxxpxxBxxR，，，且AB，求实数p的取值范围．．六、集合与不等式7.已知集合222{412}{(21)(1)0}AaaxxxaBxxmxmm恒成立，≥，若AB，求实数m的取值范围．解析：由不等式22412axxxa≥恒成立，可得2(2)4(1)0axxa≥，（※）（1）当20a，即2a时，（※）式可化为34x≥，显然不符合题意．（2）当20a时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足200a，，≤即2244(2)(1)0aaa，，≤解得{2}Aaa≥．集合B是不等式2(21)(1)0xmxmm的解集，可求得{1}Bxmxm，结合数轴，只要12m即可，解得1m．五、集合与解析几何例6已知集合2{()20}Axyxmxy，和{()1002}Bxyxyx，，≤≤，如果AB，求实数m的取值范围．解析：从代表元素()xy，看，这两个集合均为点集，又220xmxy及10xy是两个曲线方程，故AB的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线220xmxy与线段10(02)xyx≤≤有公共点，求实数m的取值范围．”由22010(02)xmxyxyx，，≤≤，得2(1)10(02)xmxx≤≤，①∵AB，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解．首先，由2(1)40m≥，得3m≥或1m≤．当m≥3时，由12(1)0xxm及121xx知，方程①只有负根，不符合要求；当1m≤时，由12(1)0xxm及1210xx知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(01]，内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内．综上，所求m的取值范围是(1]，．第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。定义2函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.定义3反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=x11的反函数是y=1-x1(x0).补充知识点：定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义4函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1x2，总有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义5如果实数ab，则数集{x|axb,x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|ax≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤xb}记作半闭半开区间[a,b)，集合{x|xa}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].定义6函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=x21,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=u1在（0，+∞）上是减函数，所以y=x21在（-∞,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、基础知识（初中知识必会）1．二次函数：当a0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-ab2，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-ab2，下同。2．二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，情况相反。3．当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c0…②及ax2+bx+c0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。1）当△0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|xx1或xx2}和{x|x1xx2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=ab2,不等式②和不等式③的解集分别是{x|xab2}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当△0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a0时，请读者自己分析。4．二次函数的最值：若a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=abac442,若a0，则当x=x0=ab2时，f(x)取最大值f(x0)=abac442.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，当x0∈[m,n]时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);当x0m时。f(x)在[m,n]上的最小值为f(m)；当x0n时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意：“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。二、基础例题（必懂）1．数形结合法。例1（09.江西）求方程|x-1|=x1的正根的个数.【解】分别画出y=|x-1|和y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例2（2010.广西模拟）求函数f(x)=113632424xxxxx的最大值。【解】f(x)=222222)0()1()3()2(xxxx，记点P(x,x-2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|≤|AB|=10)12(322,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=.102.函数性质的应用。例3（10、全国）设x,y∈R，且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(32yyxx，求x+y.【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若ab，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.xyx11x例4（10、全国）奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5（10、全国）设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】设x∈Ik，则2k-1x≤2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因为f(x)是以2为周期的函数，所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6（10·全国）解方程：(3x-1)(15692xx)+(2x-3)(131242xx+1)=0.【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化为m(42m+1)+n(42n+1)=0.①若m=0，则由①