一、曲线的参数方程1

在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。一、曲线的参数方程1、参数方程的概念1、参数方程的概念探究：一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？AM(x,y)xyo飞机在A点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的郊交线，y轴经过A点。记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为点M（x,y）,则x表示物资的水平位置，y表示物资距地面的高度。由于水平位移量x与高度y是由两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。换个角度看这个问题。由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。)2.....(....................)()({tgytfx的值。上，求在曲线、已知点的位置关系与曲线、判断点为参数的参数方程、已知曲线例aCaMCMMttytxC),6()2()4,5(),1,0()1()(123{13212上。不在曲线点这个方程组无解，所以代入方程组，得到把点上。在曲线所以代入方程组，解得的坐标把点解：CMttMCMtM2221112435{)4,5(0)1,0()1(99,21236{),6()2(23aattatCaM所以，解得上，所以在曲线、因为点请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点2、圆的参数方程xo0MyM(x,y)0M圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？设圆O的半径为r，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆O上做匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω。以圆心O为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系。显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可取t为参数。r0OM)()(sincos{sin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三＝，设＝，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取＝考虑到00)(sincos{OMOMOOMrOryrxt圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos{()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。练习1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0))(sin3cos{sin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM分析：取为参数，则圆O的参数方程是（θ为参数），当θ变化是，动点P在定圆O上运动，线段PQ也随之变动，从而使点M远动，因此点M的运动可以看成是由角θ决定的。于是，选θ为参数是适合的。xOPsin2cos2yx思考：这里定点Q在圆O上外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos2{2yx4)3()5(22yx练习_____________4)0(sin2cos{3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）3、参数方程和普通方程的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系那么就是曲线的参数方程。tfxtgytgytfx参数方程和普通方程的互化：（1）普通方程化为参数方程需要引入参数如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）②在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程.cot,tanyx（为参数）（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数方程.sin,cosrbyrax消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2..42,tytx②参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1sin2yx=(2)为参数（2）把平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)11231)11xtyx解：因为所以普通方程是（x这是以（，）为端点的一条射线（包括端点）1xt所以代入ty21cossinxsin21yyx24sin2cossinx2,2x2,2xyx2练习、1.将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。2.求参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，21）：（B）抛物线的一部分，这部分过（211，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，21）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，21）分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解∵x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。)42sin(2|2sin2cos|x∵，又02，0x2，故应选（B）说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例4(1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。解（1）把带入椭圆方程，得到于是由参数的任意性，可取因此椭圆的参数方程为（为参数）1499cos22y3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2222213,191449txtxtx因此椭圆的参数方程为,2132tytxtytx2132（t为参数）和（2）把ty2代入椭圆方程，得x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练习:普通方程参数方程引入参数消去参数小结