2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)

2.5.2向量在物理中的应用一、向量与物理学的联系向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！1.向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！2.力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！3.功的定义即是F与所产生位移S的数量积例题例1：同一平面内，互成的三个大小相等的共点力的合力为零。BO120ºabcDCA证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120°，模相等按照向量的加法运算法则，有：a+b+c=a+（b+c）=a+OD又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故a与OD共线且模相等,0ODaabc所以：即有：0120例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：F2θF1FG用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！θF1FGF2cos2θ探究：（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？F1（2）能等于吗？为什么？F1GF1解：不妨设=，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：=（*）通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此：由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力！F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1答：在（*）式中，当θ=0º时，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，当=即θ=120º时，=cos2θ12F1GF2小结：（1）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。练习；（1）如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是————。120º10N如图，今有一艘小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游=80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？lPQ瀑布lθQ，60mPQ瀑布lθV船V水V合的方向θPQ从图上看，哪个速度（向量的模）最小？分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速和它们的合速度为、和，由题意，船的实际速度为向量其方向为临界方向，船只要朝着这个方向行驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：PQV船V水V合=+V船V水V合解：由题意知：其方向为临界方向，设和夹角为θ，则最小划速为：sinθ==所以：最小的船速应为：V船V水V合=+PQV水V合v船=v水sinθv船22ldd5380606022=5×sinθ=5×=3（m/s）53提问:表示划船速度的向量怎样画?如何解决物理中与向量有关的问题：（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际问题；（4）用所得的结果解释物理现象。总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？典题例证技法归纳例1三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.向量在平面几何中的应用【证明】如图所示，建立直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则D(0，1)，于是AD→＝(－2，1)，AC→＝(－2，2)，设F(x，y)，由BF→⊥AD→，得BF→·AD→＝0，即(x，y)·(－2，1)＝0，4分∴－2x＋y＝0.①又F点在AC上，则FC→∥AC→，而FC→＝(－x，2－y)，因此2(－x)－(－2)(2－y)＝0，即x＋y＝2，②由①、②式解得x＝23，y＝43，6分∴F23，43，DF→＝23，13，DC→＝(0，1)，DF→·DC→＝13，又DF→·DC→＝|DF→||DC→|cosθ＝53cosθ，∴cosθ＝55，即cos∠FDC＝55，9分又cos∠ADB＝|BD→||AD→|＝15＝55，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.12分【总结】向量可以解决直线(线段)的平行、垂直、夹角、距离(长度)等问题．解决的关键是顺利把几何中的元素转化为向量,常用方法有坐标法和几何法，用坐标法注意坐标轴和原点的选取，用几何法要注意基底的选取．变式训练1.已知△ABC三边长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：a＝bcosC＋ccosB.证明：如图所示，设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a＝b＋c，∴a2＝(b＋c)·a＝a·b＋a·c①又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角等于∠B,故①式可化为：|a|2＝|a||b|cosC＋|a||c|cosB，即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB，也即a＝bcosC＋ccosB.向量在解析几何中的应用例2已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA→·AM→＝0，AM→＝－32MQ→，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．【解】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点,设A(0，b)，Q(a，0)(a0)，则AM→＝(x，y－b)，MQ→＝(a－x，－y)，∵AM→＝－32MQ→，∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)，∴a＝x3(x0)，b＝－y2，则A0，－y2，Qx3，0，PA→＝3，－y2，AM→＝x，32y，∵PA→·AM→＝0，∴3x－34y2＝0，∴所求轨迹方程为y2＝4x(x0)．【总结】(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标相等.3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．试求：(1)力F1，F2分别对质点所做的功；(2)F1，F2的合力对质点所做的功．向量在物理中的应用解：(1)s＝AB→＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，从而W1＝F1·s＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·s＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．(2)W＝(F1＋F2)·s＝F1·s＋F2·s＝W1＋W2＝－102(J)．向量在物理中的应用例3在水流速度为43km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．【解】如图所示,设AB→表示水流速度，AC→表示船垂直于对岸行驶的速度,以AB→为一边,AC→为一对角线作▱ABCD，则AD→就是船的航行速度．∵|AB→|＝43，|AC→|＝12，∴|AD→|＝|BC→|＝83，∴tan∠ACB＝4312＝33，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即船的航行速度的大小为83km/h，方向与水流方向的夹角为120°.【总结】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题，该题涉及解三角形，同时正确作图是前提．练习1.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为两边的三角形面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积2.一艘船从O点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h，则河水的流速大小为________．解析：选A.假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．解析：如图，|OC→|＝4，|OB→|＝23，则|OA→|＝42－（23）2＝2.答案：2km/h3.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．解析：法一：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，∴PA→＋3PB→＝(5，3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.法二：设DP→＝xDC→(0≤x≤1)，∴PC→＝(1－x)DC→，PA→＝DA→－DP→＝DA→－xDC→，PB→＝PC→＋CB→＝(1－x)DC→＋12DA→，∴PA→＋3PB→＝52DA→＋(3－4x)DC→，|PA→＋3PB→|2＝254DA→2＋2×52×(3－4x)DA→·DC→＋(3－4x)2·DC→2＝25＋(3－4x)2DC→2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.答案：5