3.4-函数的奇偶性和单调性综合训练(2011)

陆伟忠2011.12.1.二期课改----(高一数学)任意一个xf(-x)=f(x)任意一个x-f(x)f(-x)=一.增函数,减函数的定义:二.单调区间的意义:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个变量x1,x2,当x1x2时若都有,则称f(x)在这个区间上是增函数;若都有,则称f(x)在这个区间上是减函数.)()(2xff1x)()(2xff1x如果函数y=f(x)在某个区间上是或,则称于y=f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这一区间就叫做y=f(x)的单调区增区间或单调减区间.增函数减函数三.函数单调性的判定方法:函数单调性的判定方法有:或.定义法图像法四.奇偶函数的单调性的规律:奇函数在两个对称的区间上具有的单调性;相同偶函数在两个对称的区间上具有的单调性;相反三.判定函数单调性的具体方法:1.利用定义:即“取值—作差—化积—定号—判断”.2.利用已学函数的单调性将所求函数转化为已知函数的单调性问题进行判断.3.利用函数的图像:图像从左到右逐渐上升,则函数在其区间上位增函数;反之则为减函数.但此法只适用于图像比较简单易作的函数.4.利用函数的性质:(1)若f(x),g(x)都为增(或减)函数,则f(x)+g(x)在其公共定义域内为增(或减)函数;(2)若f(x)为增函数,g(x)都为减函数,则f(x)-g(x)在其公共定义域内为增函数;(3)若f(x)为减函数,g(x)都为增函数,则f(x)-g(x)在其公共定义域内为减函数;(既奇又偶)1.判断下列函数的奇偶性.x1x11)(x(x)--(1)f0)(xx)x(10)(xx)x(1(x)f(2)1xx1(x)22f(3))(x)(x)x(x0x(x)y2121ffff),(,(4)对于任意的x1,x2.恒有(非奇非偶)(奇函数)(偶函数)解析1:对抽象函数问题,一般可以利用赋值法进行计算求解.;-01)(0(1)(1)(1)(1)1xx21fffff.--,(x)x)(1)((x)x)(1xxx21fffff⇒y=f(x)是偶函数.*变式:判断下列函数的奇偶性.2x2x(x)-(1)f0)(xxx-0)(xxx(x)22f(3)01xxx(x))((2)f(偶函数)(奇函数)(非奇非偶)2.若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)f(-m),则实数m的取值范围是------------------------().)()()()()(,,--,,,--01D.01C.0B.1A.3.下列函数中在上(-∞,0)为增函数的是------()1xxyD.x11yC.2xxyB.x1yA.224.反比例函数中,若k0,则函数的递减区间是;若k0,则函数的递增区间是.xky5.若函数与在区间上都是减函数,则a的取值范围是.1xaxg2axxx2)()(f例题1:试判断函数在(0,+∞)上的单调性,并加以证明.x1xxf2-)(*证明如下:任取:0x1x2.则有:f(x1)-f(x2)=)()(212221x1x1xx)())((21122121xxxxxxxx--))((212121xx1xxxx-0.xx1xx0xxxx021212121,-0xx21)()(ff)()(21xxff故有:f(x)在(0,+∞)上单调递增.例题2:试说出函数的递增区间是.x3xy)--(*解析:x3xy)--()()(0x3xx0x3xx22分段作出上述函数的图像,可直接观察图像知道递增区间为:xy012312-1-2-123x*变式:试说出函数的单调区间.2x3xy2-)()(0x23xx0x23xx222x3xy2-*解析:xy012312-1-2-123x23x*作图可得递减区间:*递增区间:230,23,,,23,023,例题3:若f(x)是定义在[-1,1]上增函数,且f(x-1)f(x2-1).求x的取值范围.*解析:*理解题意就可把问题转化为不等式组求解:1x1x11x111x12221x2x1,*变式:若f(x)是定义在[0,+∞)上增函数,求解不等式:f(x)-f(-x+2).例题4:已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),当x0上时,f(x)=x|x-2|.求f(x)的解析式.*解析:当x0时:0x2xx2xxx----)(f又因f(x)是奇函数:)()(xxff2xxx2xxx)()(ff)()()(0x0x0x2xx02xxx)(f*变式:已知函数f(x)是奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,函数f(x)=.例题5:已知函数f(x)是定义在(-1,+1)上的奇函数,且在定义域内递减,求解不等式:f(1-a)+f(1-a2)0.解析6:.---x)(aa)(10)a(1a)(122ffff1aa111a111a1221a10a1a12a0,).,(10a*变式:已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上递减,若f(1-m)f(m),求m的取值范围.解析:由于f(x)是偶函数:.-)x((x)x)(fff.-)()(mm1(m)m)(1ffff又因f(x)在[0,2]上递减:2m221m2mm1.21m1D*变式:已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则有()..107D.97C.96B.76A.)()()()()()()()(ffffffff例题6:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-5,-1)上是增函数,求证:f(x)在(1,5)上是减函数.*变式:已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-5,-1)上是增函数,求证:f(x)在(1,5)上是增函数.*练习1:若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则的解集为().0xx)((x)ff.202D.22C.202B.2002A.),(),(-),(),(-),(),-(-),(),(-解析:由题意可知不等式:0xx)((x)ff0x(x)0x(x)f2f由题意可作出函数示意图,数形结合分析可知不等式解集:xy012312-1-2-1*练习2:如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是--------------().,,-,--,-3D.5C.3B.3A.*练习3:定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x),当m0时,f(x+m)f(x),则不等式f(x)+f(x2)0的解集是-().)()()()()(11D.10C.01B.01A.,-,,-,,--*练习4:若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是--().)()()()()(22D.22C.2B.2A.,-,,-,,-*练习5:已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域[a-1,2b],则f()=.21*练习6:若已知函数f(x)=ax3+bx-8,且f(-2)=0,试求f(2)的值.*练习7:已知函数f(x)在R上是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-x,求当x≤0时,f(x)的解析式.*练习8:已知函数,试求出f(x)的单调区间,并加以证明.)()(Rxf1xxx2*练习9:已知函数(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;(2)若f(x)在[]的值域是[],求a得值.).()(0x0,af,x1a1x221,221,