裂项相消法求数列的前n项和

裂项法求数列的前n项和回顾数列求和的常见方法公式法错位相减法裂项相消法分组求和法并项求和法倒序相加法裂项相消法裂项法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。回顾常见的裂项求和回顾an＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1an＝1n(n＋k)＝1k1n－1n＋kan＝1n(n＋1)(n＋2)＝1n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)an＝1n＋n＋1＝n＋1－nan＝1n＋n＋k＝1k(n＋1－n)应用感悟【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn＝32an＋n－3．（1）求证：数列{an－1}是等比数列；（2）令cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令dn＝1cn，求数列{dn}的前n项和Tn.解：（1）∵Sn＝32an＋n－3∴当n≥2时，Sn－1＝32an－1＋n－4两式相减得：an＝32an－32an－1＋1，即an＝3an－1－2法一（构造法）：∴an－1＝3(an－1－1)又当n＝1时，S1＝32a1－2，则a1＝4应用感悟【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn＝32an＋n－3．（1）求证：数列{an－1}是等比数列；（2）令cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令dn＝1cn，求数列{dn}的前n项和Tn.解：（1）∴数列{an－1}是以3为首项，3为公比的等比数列法二（定义法）：∴an－1an－1－1＝3an－1－2－1an－1－1＝3又当n＝1时，S1＝32a1－2，则a1＝4∴数列{an－1}是以3为首项，3为公比的等比数列应用感悟【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn＝32an＋n－3．（1）求证：数列{an－1}是等比数列；（2）令cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令dn＝1cn，求数列{dn}的前n项和Tn.解：（2）由（1）得an－1＝3n，于是log3(an－1)＝n∴cn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2∴dn＝2n(n＋1)＝21n－1n＋1∴Tn＝d1＋d2＋…＋dn－1＋dn＝21－12＋212－13＋＋…＋21n－1－1n＋21n－1n＋1应用感悟【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn＝32an＋n－3．（1）求证：数列{an－1}是等比数列；（2）令cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令dn＝1cn，求数列{dn}的前n项和Tn.解：（2）＝21－12＋212－13＋＋…＋21n－1－1n＋21n－1n＋1＝21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝21－1n＋1变式训练1.已知数列{an}的通项公式an＝1n2＋3n＋2，它的前n项和为Sn，则S2018＝.2．等差数列{an}中，2a1＋3a2＝11，2a3＝a2＋a6－4，其前n项和为Sn.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn＝1Sn＋1－1，其前n项和为Tn，求证：Tn＜34(n∈N*).10092020此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。余下的项前后的位置是对称的余下的项前后的正负性是相反的注意检查裂项后式子和原式是否相等余下的项具有的特点易错点感悟归纳21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－2－1n＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2强化训练已知数列{an}的前n项和为Sn，有2Sn＝n2＋n(n∈N*).(1)求数列的通项公式an；(2)若bn＝(－1)n＋11an＋1an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.归纳总结2看裂验消课后作业1．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且2a2＝S2＋12，a3＝2.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝log2an＋3，数列1bnbn＋1的前n项和为Tn，求满足Tn＞13的正整数n的最小值.课后作业2．已知{an}为单调递增数列，Sn为其前n项和，2Sn＝a2n＋n.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn＝an＋22n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜12.课后作业3.正项数列{an}的前n项和Sn满足S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1(n＋2)2a2n，数列的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.