中考复习：二次函数的图像和性质(二)

二次函数的图像和性质（2）2018届中考一轮学习目标1、掌握抛物线的位置与a，b，c的符号关系、二次函数与一元二次方程的关系.2、能够熟练解决有关二次函数的综合应用问题.知识梳理考点1抛物线的位置与a，b，c的符号关系项目字母字母的符号图像的特征aa0开口向________a0开口向________bb＝0对称轴为____轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴____侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴____侧上下y左右知识梳理项目字母字母的符号图像的特征cc＝0经过点________c0与y轴________相交c0与y轴________相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac0与x轴有________不同的交点b2－4ac0与x轴没有交点（0,0）正半轴负半轴两个知识梳理项目字母字母的符号图像的特征特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c0，即当x＝1时，y0若a－b＋c0，即当x＝－1时，y0难点突破1、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是()A．①④B．②④C．①②③D．①②③④C难点突破思路点拨：①因为抛物线开口向上，所以a0.因为抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，所以b0，所以ab＜0，所以①正确．②因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac0，所以b2＞4ac，所以②正确．③由图像，知当x＝1时，y＝a＋b＋c0.又抛物线与y轴交于负半轴，所以c0，所以a＋b＋2c＜0，所以③正确．④由抛物线的轴对称性，知当x＝3时，y＝9a＋3b＋c0.又－b2a＝1，所以b＝－2a，所以3a＋c0，所以④错误．综上，正确的是①②③.故选C.难点突破C2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图像如图14－13所示．有下列结论：①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大．其中结论正确的是()A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤知识梳理考点2二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0的实数根个数2个b2－4ac0两个________的实数根1个b2－4ac＝0两个________的实数根没有b2－4ac0________实数根不相等相等没有难点突破A3、若二次函数y＝ax2＋1的图像经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为()A．x1＝0，x2＝4B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝32，x2＝52D．x1＝－4，x2＝0难点突破4、如图所示，是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点．有下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________(只填写正确结论的序号)．②⑤难点突破思路点拨：①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点，可知a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故错误；②根据抛物线顶点坐标，可知方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根x1＝x2＝1，故正确；③根据抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，故错误；④根据函数图像，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故错误；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c，∴x(ax＋b)≤a＋b，故正确．故正确的结论有②⑤.难点突破5、如图所示，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC边上的点E处，点E的坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)求AD的长；(3)P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．难点突破解：(1)∵四边形ABCO是矩形，B(10，8)，∴A(10，0)．又抛物线经过A，E，O三点，把点的坐标代入抛物线的函数表达式可得100a＋10b＋c＝0，36a＋6b＋c＝8，c＝0，解得a＝－13，b＝103，c＝0，∴抛物线的函数表达式为y＝－13x2＋103x.难点突破解：(2)由题意可知AD＝DE，BE＝10－6＝4，AB＝8.设AD＝x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x.在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2＝BE2＋BD2，即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5，∴AD＝5.难点突破解：(3)由抛物线的函数表达式y＝－13x2＋103x，得图像的对称轴为直线x＝5.连接PO，∵点A，O关于对称轴对称，∴PA＝PO，∴当P，O，D三点在一条直线上时，即点P在抛物线的对称轴与OD的交点处时，△PAD的周长最小，此时，PA＋PD＝PO＋PD＝OD.由(2)可知点D的坐标为(10，5)．设直线OD的函数表达式为y＝kx，把点D的坐标代入可得5＝10k，解得k＝12，∴直线OD的函数表达式为y＝12x.令x＝5，可得y＝52，∴点P的坐标为(5，52)．本课小结1．a的符号看开口：开口________，则a0；开口________，则a0.2．b的符号看对称轴：x＝－b2a0，则a，b异号；x＝－b2a0，则a，b同号；x＝－b2a＝0，则b＝0.3．c的符号看与y轴的交点：抛物线与y轴交于正半轴，则c0；抛物线与y轴交于负半轴，则c0；抛物线经过原点，则c＝0.向上向下本课小结对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，令y＝0，得ax2＋bx＋c＝0，即抛物线与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有实数根的情况2个Δ0两个________实数根1个Δ＝0两个________实数根没有Δ0________实数根不相等的相等的没有随堂检测考向探究基础温故考点聚焦效果检测1、下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧D随堂检测2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b＋cx在同一坐标系中的大致图象是()C随堂检测思路点拨：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b＋c＞0，反比例函数过一、三象限；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，即b＋c＜－a，因为a＞0，所以b＋c＜0，所以正比例函数过二、四象限．故选C.随堂检测3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列命题中正确的是()A．a＞b＞cB．一次函数y＝ax＋c的图象不经过第四象限C．m(am＋b)＋b＝a(m是任意实数)D．3b＋2c＞0D随堂检测思路点拨：由题意知抛物线的对称轴为x＝－b2a＝－1，即a＝12b，故A选项错误；a＞0，c＜0，∴一次函数y＝ax＋c的图象不经过第二象限，故B选项错误；m(am＋b)＋b＝a，由a＝12b可得m＝－1，故C选项错误；又当x＝1时，y＝a＋b＋c0，∴12b＋b＋c0，即3b＋2c0，故选D.随堂检测4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x…－1013…y…－3131…下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个B随堂检测5、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？解：证明：∵Δ＝(－2m)2－4(m2＋3)＝－12＜0，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．随堂检测解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3.把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点．∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．