第五章--对单个和两个总体平均数的假设检验

1第5章对单个和两个样本平均数的假设检验魏泽辉讲义25.1对单个总体均数的检验检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异（检验该样本是否来自某一总体）已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值或期望数值。（正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄）魏泽辉讲义35.1.1z检验：总体方差已知魏泽辉讲义4•由该场随机抽取了10头猪，测得它们在体重为100kg时的平均背膘厚为8.7mm。•1）提出假设例：某猪场称该场的猪在体重为100kg时的平均背膘厚度为9±0.32mm2。问如何检验该场的说法是否真确？（已知该场猪的背膘厚服从正态分布）一、方差已知时μ的假设检验000:,:AHH000:,:AHH000:,:AHH魏泽辉讲义52)构造并计算检验统计量0~N(0,1)8.793.16230.310xzn~(0,1)XzNn00:H6若取＝5％，则0.050.051(uu)0.05Pz接受域95%否定域2.5%1.96-1.96否定域2.5%3）确定否定域并作统计推断z=-3.1623-1.96（落入）接受备择假设结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异显著魏泽辉讲义75.1.2t检验：总体方差未知魏泽辉讲义8显著性检验步骤1、提出假设（1）H0：μ＝μ0；HA：μ≠μ0双侧检验2、计算t值3、查临界t值，作出统计推断xSxt01ndfnSSx122)1(02200nnXSnXnSXtSn标准正态分布Χ2分布9【例5.1】按照规定，100g罐头番茄汁中的平均维生素C含量不得少于21mg/g，现在从工厂的产品中抽取17个罐头，其100g番茄汁中测得维生素C含量记录如下：16，25，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，22，设维生素C含量服从正态分布，问这批罐头是否符合规定要求？10解：依题意，可对此批罐头的平均维生素C含量μ提出待检验假设：H0：µ=21，HA：µ21由于总体的方差未知，故用t检验先计算所需的样本统计量：n=17，=20，S=3.98检验统计量为:于是单侧检验，否定域为t分布小于-t2α(n-1)的区域，取显著性水平α=0.05，查表得两尾概率为2α=0.1，自由度df=n-1=16时的t分布分位点为t0.1(16)=-1.746,因为t=-1.04-1.746,不能否定零假设，即该批罐头的平均维生素C含量与规定的21mg无显著差异，可以出厂。020211.043.9817xxtSX115.2两个样本平均数的比较推断两个样本平均数差异是否显著的问题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同。配对试验非配对试验两个总体u检验：总体方差已知t检验：总体方差未知总体方差未知相等总体方差未知不等2121xx)()()()(,2121221121222111xxxx表面效应试验误差处理效应:::212121xx目的就是分析表面效应主要是由处理效应引起，还是由实验误差引起。从而分析处理效应是否存在。表面效应可以计算，实验误差可以估计，根据这些推断处理效应是否显著。5.2.1随机分组资料的假设检验1、提出假设212101：；：）（AHH212102：；：）（AHH212103：；：）（AHH双侧检验单侧检验单侧检验统计量的抽样分布21XX212121)()()(XEXEXXE2221212121)(2)()()(21nnXVarXVarXXVarXX)(2121112)(222221nnXX则，，如果两个总体方差相等统计量的抽样分布21XX22)(221nXX则，相等如果两个样本的含量也222121)(221nnXX统计量的抽样分布21XX2、构造检验统计量如果两个总体都是正态总体，则：)(~)(2122121XXNXX，)10(~)()212121，－（标准化为：NXXZXX因此，可以计算检验统计量Z对总体均数进行假设检验，分三种情况分别介绍。3、确定否定域比较检验统计量和临界值的关系，根据小概率事件（显著水平：0.01；0.05）原理，确定其落在否定域还是接收域。4、对假设进行统计推断接受原假设，否定备择假设；或否定原假设，接受备择假设1.两总体方差已知时的检验－Z检验例：某单位测定了31头犊牛和48头母牛100ml中血液中血糖的含量（mg），得犊牛平均血糖含量为81.23，成年母牛的平均血糖含量为70.23。设已知犊牛血糖的总体方差为15.642，成年母牛血糖的总体方差为12.072，问犊牛和成年母牛之间血糖含量有无差异？Z检验解：（1）提出假设210：H21：AH即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量无差异；即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量有差异。（2）计算检验统计量12222212()1215.6412.073.30543148XXnn＝＝1212()81.2370.433.273.35XXXXZ－＝＝（3）确定显著性水平u0.05=1.96u0.01=2.5801.058.222.301.0PuZ＝所以：否定H0，接受备择假设。即犊牛和成年母牛之间血糖含量存在极显著的差异。实际研究中总体方差往往是未知的，因为很难得到总体内所有个体的观测值，因此无法计算总体方差。尤其对于无限总体和连续性资料。2.两总体方差相等但未知时的检验－t检验当n1≥30和n2≥30时（大样本），可以用样本方差代替总体方差，仍然用Z检验，因为在大样本中其近似服从正态分布。当n1≤30和n2≤30时（小样本），不能用样本方差代替总体方差，应该采用t检验。)1/()(11121111nxxnx，样本)1/()(12222222nxxnx，样本在μ1=μ2（原假设），σ2＝σ2＝σ条件下，认为两个样本来自同一个总体，因此可以将两个样本合并，然后用合并样本的方差代替总体方差。加权平均数。以各自的自由度为权的和：两个样本的方差合并方差22212SSS5.2.3两总体方差相等但未知时的检验－t检验212121211211212222121122212)1()1()()(2)1(2)1(212211dfdfSSSSnnxxxxnnSnnnSnSSSdfdfdfdfdfdf计算公式如下：5.2.3两总体方差相等但未知时的检验－t检验所以：均数差异标准误为2121)(22)(21212122221121211)1()1(11)1()1()()()11(22212121nnnnxxnnnnxxxxnnSSnxnxxx21xxS均数差异标准误5.2.3两总体方差相等但未知时的检验－t检验当n1=n2=n时，上面公式演变为：12221212221111()()221212()()(1)(1)(1)xxxxnnxxxxSnnxxnnSSSSnn5.2.3两总体方差相等但未知时的检验－t检验)2(~)(212121212121nntSxxSxxtxxxxt值为自由度为：df=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-25.2.3两总体方差相等但未知时的检验－t检验魏泽辉讲义27例：研究两种不同饲料对香猪生长的影响，随机选择了体重相近的12头香猪并随机分成两组，一组喂甲种饲料，另一组喂乙种饲料在相同条件下饲养，6周后的增重结果如下（kg）：甲饲料：6.65，6.35，7.05，7.90，8.04，4.45乙饲料:5.35，7.00，9.89，7.05，6.74，9.28设两样本所属总体服从正态分布且方差相等，试比较两种不同饲料对香猪的生长是否有差异？28解：总体方差未知但相等，可用t检验(1)假设:H0:µ1=µ2,即两种不同饲料对香猪的生长影响无差异HA:µ1≠=µ2,两种不同饲料对香猪的生长影响存在差异(2)计算检验统计量126.74kg7.55kgXX；221212()()2211228.536,14.5612XXnnSSXSSX12128.53614.56120.8774(1)6(61)xxSSSSSnn29(3)取α＝0.05,查附表4得t0.05(10)=2.23∵|t|=0.92t0.05(10)=2.23∴P0.05,接受H0，接受不同饲料对香猪的生长影响无显著差异。12126.747.550.920.8774xxxxtSdf=n1+n2-2=6+6-2=1030解：(1)假设:H0:µ1=µ2,两品种猪的肌肉脂肪含量无差异HA:µ1≠=µ2,两品种猪的肌肉脂肪含量存在差异例：测定金华猪与长白猪肌内脂肪含量（％），金华猪共10头，其样本平均数为3.93，标准差为0.4；长白猪4头，平均数为2.56，标准差为0.4。设两样本所属总体服从正态分布，且方差相等，试测验两品种猪的肌肉脂肪含量是否存在差异。本例为总体方差未知相等，且样本容量不等。31(2)计算检验统计量122121111()0.16()0.2366104xxSSnn＝12121222212221122121222(1)(1)22(101)0.4(41)0.410420.1600dfdfdfdfdfdfSSSnSnSnnnn＋32(3)取α＝0.01,查附表4得t0.01(12)=3.055∵|t|=5.79t0.01(12)=3.055∴P0.01,否定H0，两品种猪的肌肉脂肪含量存在极显著差异。12123.932.565.790.2366xxxxtSdf=n1+n2-2=10+4-2=123两总体方差不相等而且未知时的检验－t检验（一）方差的齐性检验在很多情况下，我们不能确定两个总体的方差是否相等，而且方差不相等的情况下，假设检验方法不同。因此，需要首先进行方差的齐性检验。目的：确定两个总体的方差是否相等，从而进一步确定检验方法。5.2.4两总体方差不相等而且未知时的检验－t检验)1(~)1()1(~)1(2222222211221211ndfSnndfSn，)11(~2122222121nnFSS，所以：因此，构造一个统计量假设检验：σ12＝σ22。这种利用服从F分布的检验统计量来进行假设检验的方法称为F检验。方差的齐性检验步骤：设有两个正态总体，X1服从N(μ1，σ12)，X2服从N(μ2，σ22)。1.零假设：H0：σ12=σ22备择假设：H1:σ12≠σ222.确定显著平准：0.05、0.015.2.4两总体方差不相等而且未知时的检验－t检验3.计算检验统计量)1/()(:2)1/()(:1222222121121nxxSnxxS的方差样本的方差样本)11(~//22112221222221212221ndfndfFSSSSF，检验统计量：下，在原假设条件4.确定否定域：查F表，确定临界值，接受或者拒绝H0此检验为双侧检验，上、下侧分位点数不同。以方差大者为分子，小者为分母，求F值。）：差异极显著（）：差异显著（）（）：差异不显著（21212121,,,,201.0201.0205.0205.0dfdfFFdfdfFFdfdfFdfdfFF如果检验结果不显著，接受零假设σ12=σ22，那么还按照前一种t检验进行检验。如果检验结果显著，接受备择假设σ12≠σ22，那么按照下面的t检验方法进行检验。（二）σ12≠σ