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弹性与塑性力学基础§3-1平衡微分方程的概念3.1.1平衡微分方程的概念3.1.2平衡微分方程的建立§3-2二维直角坐标系下的平衡微分方程3.2.1平面应力状态3.2.2平面应变状态§3-3二维极坐标系下的平衡微分方程3.3.1二维极坐标系下的平衡微分方程适用性3.3.2二维极坐标系下的平衡微分方程的建立弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-4三维直角坐标系下的平衡微分方程§3-5应变协调方程3.5.1变形的协调性3.5.2应变协调方程§3-6塑性变形时的不可压缩条件弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-1平衡微分方程的概念3.1.1平衡微分方程的概念�变形体在力学上应遵守平衡原则�应力之间的变化受到平衡方程的约束�连续体应变之间必须满足一定关系即应变协调方程弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-1平衡微分方程的概念3.1.2平衡微分方程的建立�设一均质杆�悬挂在固定端受自重作用�应力状态是单向拉伸。�距底端为x截面�应力为��在x+dx截面�应力为�微元体的长度为dx�截面积为A�重量为�Axdx�平衡方程�平衡微分方程积分求解可得当x=0时���0�故有C=0即(3-1)弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程dxdxd���������0)(����������AAdxAdxdxd����0����dxdCx����x���§3-2二维直角坐标系下的平衡微分方程3.2.1平面应力状态�受力的薄板取出一个微小的正平行六面体�x和y方向尺寸分别为dx和dy�z方向的尺寸取为一个单位长度.薄板受力图微元受力分析�应力分量是位置坐标x和y的函数�各面上所受的应力可以认为是均匀分布�作用在它的体积的中心弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-2二维直角坐标系下的平衡微分方程3.2.1平面应力状态�建立平衡方程采用了弹性体变形以前的尺寸�不用平衡状态下的、变形以后的尺寸�通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴�力矩平衡方程�将上式除以dxdy�得到=略去微量�(亦即dx、dy都趋于零时)�得出(3-2)弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程2121dxdydxdydxxxyxyxy�������������������02121������������������dydxdydxdyyyxyxyx���dxxxyxy�����21dyxyxyx�����21yxxy���0��CM§3-2二维直角坐标系下的平衡微分方程3.2.1平面应力状态�列出x轴平衡方程�两边除以dxdy�得同样�由平衡方程�可得一个相似的微分方程�弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程0��xF11������������dydydxxxxx���0111������������������dxdyKdxdxdyxxyxyxyx���0�������xyxxKyx��0��yF§3-2二维直角坐标系下的平衡微分方程3.2.1平面应力状态�平面问题应力分量与体力分量之间的关系式�平面问题中的平衡微分方程(或纳维叶方程平面问题中简化形式)(3-3)�两个微分方程中实际上包含着三个未知函数�x��y�τxy�决定应力分量的问题是超静定的�必须考虑形变和位移�才能解决问题�弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程���������������������00yxyyxyxxKxyKyx����§3-2二维直角坐标系下的平衡微分方程3.2.2平面应变状态�对于平面应变问题�一般还有作用于前后两面的正应力�z�但由于它们自成平衡�完全不影响方程(3-2)及(3-3)的建立�所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-3二维极坐标系下的平衡微分方程3.3.1二维极坐标系下的平衡微分方程适用性�求解圆形、柱形、楔形、扇形等形状的物体平面问题的需要3.3.2二维极坐标系下的平衡微分方程的建立�极坐标中平面内任一点P的位置用径向坐标r及环向坐标�表示�考察薄板或柱形体�取出微分体PACB�设厚度等于1�径向正应力�r(沿r方向正应力)�环向(切向)正应力��(沿�方向正应力)�剪应力�r�、��r�径向体力分量Kr�环向体力分量K�弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-3二维极坐标系下的平衡微分方程3.3.2二维极坐标系下的平衡微分方程的建立�PB及AC两面的面积分别等于rd�及(r+dr)d��微分体径向平衡方程�注意��为微量���用�r�代替��r�简化以后�除以rd�dr�再略去微量�得弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程02cos2cos2sin2sin)(�����������������������������������drrdKddrddrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr��������������������������01���������rrrrKrrr�������sin,cos1222�����§3-3二维极坐标系下的平衡微分方程3.3.2二维极坐标系下的平衡微分方程的建立�微分体切向平衡方程�用�r�代替��r�简化以后�除以rd�dr�再略去微量�得弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程02sin2sin2cos2cos)(������������������������������������drrdKddrddrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrr������������������������������021����������������Krrrrr§3-3二维极坐标系下的平衡微分方程3.3.2二维极坐标系下的平衡微分方程的建立�由微分体力矩平衡方程�将得出�r�=��r�又一次证明剪应力互等性。因此�二维极坐标系下的平衡微分方程为�(3-4)�这两个平衡微分方程中包含着三个未知函数�r、��和�r�=��r�为了求解问题必须考虑形变和位移弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程����������������������02101���������������KrrrKrrrrrrrrr§3-4三维直角坐标系下的平衡微分方程�在物体内任意一点P取微小平行六面体�应力分量是位置坐标的函数可以认为体力均布分布�列出力矩的平衡方程�Mab=0�除以dxdydz�合并相同的项�得略去微量�得�yz=�zy同样可以得出�zx=�xz;�xy=�yx,又一次证明了剪应力的互等性。弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程平行六面体微元受力分析02222��������������������������dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz������02121��������dzzdyyzyzyyzyz����§3-4三维直角坐标系下的平衡微分方程�列出力矩的平衡方程�FX=0�(3-5)空间问题平衡微分方程(纳维叶方程)弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程平行六面体微元受力分析0������������������������������������dxdydzKdxdydxdydzzdzdxdzdxdyydydzdydzdxxxzxzxzxyxyxyxxxx������������������������������������������������000KzyxzKxzyKzyxyzxzzyxyzyyxzxyxx���������§3-5应变协调方程3.5.1变形的协调性�连续体假设�物体变形后必须仍保持其整体性和连续性�数学观点�要求位移函数u、v、w在其定义域内为单值连续函数�可能结果�变形后出现“撕裂”、“套叠”现象等�“撕裂”现象后位移函数就出现了间断�“套叠”后位移函数就不是单值的破坏了物体整体性和连续性�为保持物体的整体性各应变分量之间必须要有一定的关系弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程变形状态分析§3-5应变协调方程3.5.1变形的协调性�给出应变分量需要求出位移的需要�积分应变位移方程�平面问题有三个这样的方程�但只有两个位移分量�如果没有附加条件一般地说是没有单值解的�要求应变分量应当满足一定的变形协调条件弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程zwyvxuzyx������������§3-5应变协调方程3.5.2应变协调方程�二维情况变形协调条件即应变协调方程将�x对y,�y对x的二阶导数相加得即(3-6)二维情况下用应变分量表示的应变协调方程�应变分量�x、�y、�xy满足变形协调之后就保证了物体在变形后不会出现撕裂、套叠等现象�保证了位移解的单值和连续性。弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程23232222xyvyxuxyyx���������������yxxvyuyxxy����������������������22yxxyxyyx������������22222§3-5应变协调方程3.5.2应变协调方程�类似地可得三维问题的应变协调方程(3-7)�当六个应变分量满足以上应变协调方程(3-7)时�就能保证得到单值连续的位移函数弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������zyxxzyzyxyxzzyxxzyxzzxzyyzyxxyxyxzyzzxyxzyzyxyxzyzxxzxzyzzyxyyx���������������������222222222222222222222§3-5应变协调方程3.5.2应变协调方程�应变分量只确定物体中各点间的相对位置�刚体位移不包含在应变分量之中�无应变状态下可以产生任一种刚体移动�如能正确地求出物体各点的位移函数u、v、w。根据应变位移方程求出各应变分量�则应变协调方程即可自然满足。�因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理意义来看�如果位移函数是连续的�变形自然也就可以协调。因而�在以后用位移法解题时�应变协调方程可以自然满足�而用应力法解题时�则需同时考虑应变协调方程。弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程§3-5应变协调方程例题1试确定以下各应变状态能否存在?(1)�x=k(x2+y2)��y=ky2��xy=2kxy��x=�yz=�zx(2)�x=axy2��y=ax2y��z=axy��xy=0��yz=az3+by2��zx=ax3+by2解�(1)将各应变分量代入变形协调方程(3-7)各方程式均能成立�此应变状态是可能存在的。(2)将各应变分量代入变形协调方程(3-7)�由于��将上述各值代入变形协调方程(3-7)�第1个方程式不能满足�因此该应变状态是不可能存在的。弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程axyx222����ayxy222����02����yxxy�yxxyxyyx������������22222§3-6塑性变形时的不可压缩条件�对于塑性变形�三个线应变分量间必须满足体积不变条件的要求。设变形前物体内某单元体边长为dx、dy及dz初始体积为V0=dxdydz。小变形时剪应变引起的边长变化和体积变化作为高阶微量忽略不计所以变形后单元体的体积为V1=(1+�x)dx(1+�y)dy(1+�z)dz�(1+�x+�y+�z)dxdydz单元体单位体积变化为由于塑性变形时的体积变化与塑性变形相比可以略不计�所以体积不变条件�=�x+�y+�z=0(3-8)�(1)塑性变形时三个正应变之和等于零(2)三个正应变分量不可能全部同号弹性与塑性力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程zyxVVV���������001
本文标题:弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程
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