江苏省宿迁市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷

宿迁市2017—2018学年度高二第一学期期末数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差2211()niisxxn，其中11niixxn．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．写出命题“20xxR,”的否定：▲．2．抛物线28xy的准线方程是▲．3．直线34100xy和圆229xy的公共点个数为▲．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．5．已知长方形ABCD中，2AB，1BC，O为AB的中点，若在长方形ABCD内随机取一点M，则1OM≤的概率为▲．6．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S为▲．7．已知一组数据x，8，7，9，7，若这组数据的平均数为8，则它们的方差为▲．8．以(3,4)为圆心且与圆221xy外切的圆的标准方程为▲．9．若函数()yfx的图象在点(2,(2))Mf处的切线方程为112yx，则(2)(2)ff的值为▲．10．已知双曲线C与22153xy有公共渐近线，且一个焦点为(4,0)，则双曲线C的标准方程为▲．11．已知mR，则“02m”是“方程22212xymm表示焦点在x轴上的椭圆”的▲条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)．12．函数1()sin2fxxx在ππ[,]22上的最大值是▲．13．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F，下顶点为A．若平行于AF且在y轴I←1，S←0WhileI9S←S+2II←I+3EndWhilePrintS（第4题）1(1)SSnn（第6题）开始S←0,n←1n4n←n+1输出S结束YN上截距为32的直线与圆22(3)1xy相切，则该椭圆的离心率为▲．14．已知关于x的不等式12xax对任意的(1,)x恒成立，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知命题2:,0pxxxmR≥，命题:q点(1,2)A在圆22()()1xmym的内部．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．16．(本小题满分14分)某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况．通过随机抽样，电力公司获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）．（1）求a，b的值；（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户．①求第5、6两组各取多少户？②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率．17．(本小题满分14分)如图，已知圆22:(1)9Mxy，点(2,1)A．(1)求经过点A且与圆M相切的直线l的方程；(2)过点3,2P的直线与圆M相交于,DE两点，F为线段DE的中点，求线段AF长度的取值范围．组号分组频数频率1[0,200)20.042[200,400)ef3[400,600)140.284[600,800)cd5[800,1000)ab6[1000,1200]40.08（第16题）用电量/度频率组距0.00060.00080.00140.0018200400600800100012000.00020y（第17题）A．xOM．18．(本小题满分16分)某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是cmx的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、cmx的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．(1)求包装盒的容积()Vx关于x的函数表达式，并求函数的定义域；(2)当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？19．(本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为1(3,0)F,且过点313(,)24P．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知12,AA分别为椭圆C的左、右顶点,Q为直线1x上任意一点，直线12,AQAQ分别交椭圆C于不同的两点MN,．求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．60（第18题）yA1xOQM．F1A2N（第19题）20．(本小题满分16分)已知函数21()4ln22fxxaxx,其中a为正实数．(1)若函数()yfx在1x处的切线斜率为2，求a的值；(2)求函数()yfx的单调区间；(3)若函数()yfx有两个极值点12,xx，求证：12()()6lnfxfxa．高二数学试题参考答案与评分标准1．20xxR,≤2．2y3．24．245．π46．347．458．22(3)(4)16xy9．5210．221106xy11．必要不充分12．π36213．2214．eln2+（,）15．（1）因为2,0xxxmR≥恒成立，则140m≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分解得14m≤，所以实数m的取值范围是1(,]4．．．．．．．．6分（2）因为“pq或”为假命题，所以p为假命题，q为假命题．．．．．．．．8分当q为真命题时，22(1)(2)1mm，解得12m，所以q为假命题时12mm或≤≥．．．．．．．10分由（1）知，p为假命题时14m．．．．．．．12分从而1421mmm或≥≤，解得1124mm或≤≥所以实数m的取值范围为1(,12,)4．．．．．．．14分16．（1）频率分布直方图，知第5组的频率为0.00062000.12，即0.12b．．2分又样本容量是50，所以500.126a．………………………………………………4分（2）①因为第5、6两组的频数比为3:2，所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，第5、6两组的频数分别为3和2．………………………6分②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件A，第5组的3户记为123,,aaa，第6组的2户记为12,bb，从这5户中随机选出2户的可能结果为：12131112232122313212,,,,,,,,,aaaaababaaababababbb，共计10个，………9分其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：11122122313212,,,,,,ababababababbb，共计7个．………………………………12分所以7()10PA，答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为710．…14分17．（1）当过点A直线的斜率不存在时，其方程为2x，满足条件．……………2分当切线的斜率存在时，设l：1(2)ykx，即210kxyk，圆心(1,0)到切线l的距离等于半径3，23131kk，解得43k．………………4分切线方程为41(2)3yx，即43110xy故所求直线l的方程为2x或43110xy．………………6分（2）由题意可得，F点的轨迹是以PM为直径的圆，记为圆C．……………8分则圆C的方程为22(2)(1)2xy．………………10分从而22(22)(1(1))25AC，…………12分所以线段AF长度的最大值为252，最小值为252，所以线段AF长度的取值范围为252,252．……………14分18．（1）因为包装盒高hx，底面矩形的长为602x，宽为30x，所以铁皮箱的体积()(602)(30)Vxxxx3221201800xxx．……………4分函数的定义域为(0,30)．………………………………………………6分（2）由（1）得，2()624018006(10)(30)Vxxxxx，令()6(10)(30)0Vxxx，解得10x．…………………………………10分当(0,10)x时，()0Vx，函数()Vx单调递增；当(10,30)x时，()0Vx，函数()Vx单调递减．………………………12分所以函数()Vx在10x处取得极大值，这个极大值就是函数()Vx的最大值．又3(10)(6020)(3010)108000(cm)V．…………………………15分答：切去的正方形边长10cmx时，包装盒的容积最大，最大容积是38000cm．………16分19．(1)椭圆的一个焦点1(3,0)F，则另一个焦点为2(3,0)F,．．．．．2分由椭圆的定义知:122PFPFa，代入计算得2a．．．．．．．．4分又2221bac,所以椭圆C的标准方程为2214xy．．．．．．．．6分(2)设1122(1,),(,),(,)QtMxyNxy，则直线1:(2)3tAQyx，与2214xy联立，解得22281812(,)4949ttMtt8分同理222824(,)4141ttNtt．．．．．．．10分所以直线MN的斜率为2222221244941818824941tttttttt=2243tt．．．．．．．12分所以直线2222122818:()494349tttMNyxttt22(4)43txt．．14分所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分20．(1)因为21()4ln22fxxaxx，所以'()4afxxx，．．．．．．．．2分则'(1)32fa,所以a的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(2)2'4()4axxafxxxx，函数()yfx的定义域为(0,)，1若1640a≤,即4a≥,则'()0fx≤,此时()fx的单调减区间为(0,);6分2若1640a,即04a,则'()0fx的两根为24a,．．．．．．．．．．8分此时()fx的单调减区间为(0,24)a,(24,)a,单调减区间为(24,24)aa．．．．．．．．．．．．．10分(3)由(2)知，当04a时，函数()yfx有两个极值点12,xx,且12124,xxxxa．因为221211122211()()4ln24ln222fxfxxaxxxaxx2212121214()ln()()42xxaxxxx2116ln(42)44ln2aaaaaa要证12()()6lnfxfxa,只需证lnln20aaaa．．．．．．．．．．．．12分构造函数()lnln2gxxxxx，则'11()1ln1lngxxxxx，'()gx在0,4上单调递增,又''1(1)10,(2)ln202gg,且'()gx在定义域上不间断,由零点存在定理，可知'()0gx在(1,2)上唯一实根0x,且001lnxx．．．14分则()gx在0(0,)x上递减,0,4x上递增,所以()gx的最小值为0()gx．因为00000000011()lnln2123()gxxxxxxxxx,当0(1,2)x时,0015(2,)2xx,则0()0gx,所以0()()0gxgx≥恒成立．所以lnln20aaaa,所以12()()6lnfxfxa，得证．．．．16分