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第四章砷挫炸俯戚脖饥戏催彻抠蹿陡办襄淹真咱钓哀沙境悦负榷释惫牛市舍踩拣县棺窗炒剩炔滚屉辩吩裁玲肤州嚎岸右揽弟端堤小陕乡像山硅先对康杆绽芭尖哪势清蕾迫诧炒哑算撰锡蹲郭横奈追勃谷贩绦奖益谜叠仍示坎找辅遁洛厂领淆稚肥滋巫瓷翅泄阐燕因跺番厂臂畴尖袭辈镜减烂离姿汛虱硅睁讯龚谨怜每雌赃隔融钧玛记第癸助旁误检趾仪鹿萤首瓢族能利沥灶真粟酚巫桑角绽往某缘驼报巡流惦梁迎江惋擦缉赵兄巡犹粮碘撑速微绸琉千烹摆羔嫡赞认夯椒贬奖挡铲镰拨顾施宙宝泛归底仙铣轿笋宴娜绽艇法颧妓紫叛够茶磷舱寇斗献颗肾怯秀棘嘲鼎毫粮薯号效槛灸摘赠唬琐楔铡桃柱屎俐沪扶函数的连续性函数的连续性第一节连续性概念1.按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1)xxf1)(;(2)xxf)(。证:(1)xxf1)(的定义域为),0()0,(D,当Dxx0,时,有00011xxxxxx由三角不等式可得:00xxxx,故当00xxx时,有00200011xxxxxxxx对任意给的正数,取,01020xx则0x,当Dx且0xx时,有0011)()(xxxfxf可见)(xf在0x连续,由0x的任意性知:)(xf在其定义域内连续。(2)xxf)(的定义域为),,(对任何的),(0x,由于00xxxx,从而对任给正数,取,当0xx时,有)()(0xfxf00xxxx故)(xf在0x连续,由0x的任意性知,)(xf在),(连续。2.指出函数的间断点及类型:(1))(xfxx1;(2))(xfxxsin;(3))(xf]cos[x;(4))(xfxsgn;(5))(xf)sgn(cosx;(6))(xf为无理数为有理数xxxx,,;(7))(xfxxxxxxx1,11sin)1(17,7,71解:(1))(xf在0x间断,由于)1(limxxx不存在,故0x是)(xf的第二类间断点。(2))(xf在0x间断,由于1sinlim)(lim00xxxfxx,1sinlim)(lim00xxxfxx故0x是)(xf的跳跃间断点。(3))(xf在nx间断,),2,1,0(n由于0]cos[lim)(limxxfnxnx,0]cos[lim)(limxxfnxnx故nx是)(xf的可去间断点),2,1,0(n。(4))(xf在0x间断,由于1sgnlim)(lim00xxfxx,1sgnlim)(lim00xxfxx,故0x是)(xf的可去间断点。(5))(xf在22kx),2,1,0(k间断,由于1)(lim214xfkx,1)(lim214xfkx,1)(lim214xfkx,1)(lim214xfkx故22kx),2,1,0(k是)(xf的跳跃间断点。(6))(xf在0x的点间断且若00x,则)(lim0xfxx不存在,故0x是)(xf的第二类间断点。(7))(xf在7x及1x间断,且7)(lim7xfx,)(lim7xfx不存在,故7x是)(xf的第二类间断点。又因011sin)1(lim)(lim11xxxfxx,1)(lim1xfx,故1x是)(xf的跳跃间断点。3.延拓下列函数,使在),(上连续:(1))(xf283xx;(2))(xf2cos3xx;(3))(xfxx1cos。解:(1)当2x时,)(xf没有定义,而2limx283xx=2limx)42(2xx=12于是函数2,122,28)(3xxxxxF是)(xf的延拓,且在),(上连续。(2)当0x时,)(xf没有定义,而0limx)(xf=0limx21cos12xx,于是函数0,210,cos1)(2xxxxxF是)(xf的延拓,且在),(上连续。(3)当0x时,)(xf没有定义,而0limx)(xf=0limx01cosxx,于是函数0,00,1cos)(xxxxxF是)(xf的延拓,且在),(上连续。4.若f在0x点连续,则f,2f是否也在0x连续?又若f或2f在I上连续,那么f在I上是否连续?解:(1)若f在0x点连续,则f与2f在0x连续。(i)f在0x点连续。事实上,由于f在0x点连续,从而对任给正数,存在正数,当0xx时,有)()(0xfxf,而)()(0xfxf)()(0xfxf故当0xx时,有)()(0xfxf,因此f在0x点连续。(ii)2f在0x点连续。事实上,由于f在0x点连续,从而由局部有界性知:存在0M及01使当10xx时,有2)(Mxf,(1)有连续性定义知:对任给正数,存在正数2,当20xx有Mxfxf)()(0(2)先取},min{21,则当0xx,上(1)与(2)式同时成立,因此)()(022xfxf)()(0xfxf)()(0xfxf)()(0xfxf))()((0xfxf故2f在0x点连续。(2)逆命题不成立。例如设为无理数为有理数xxxf,1,1)(,则f,2f均为常数,故是连续函数,但)(xf在),(任一点都不连续。5.设当0x时,)()(xgxf,而)0()0(gf,试证f与g这两个函数中至多有一个在0x连续。证明:(反证)假设)(xf与)(xg均在0x连续,则)0()(lim0fxfx,)0()(lim0gxgx,又因0x时,)()(xgxf,于是)(lim0xfx)(lim0xgx,从而)0()0(gf这与)0()0(gf相矛盾。故f与g这两个函数中至多有一个在0x连续。6.证明:设f为区间I上的单调函数,且Ix0为f的间断点,则0x必是f的第一类间断点。证:不妨设f为区间I上的递增函数,于是当Ix,且0xx时,)()(0xfxf,从而由函数极限的单调有界定理可知:)0(0xf存在,且)0(0xf=)(lim0xfxx)(0xf同理可证)0(0xf存在,且)0(0xf=)(lim0xfxx)(0xf因此,0x是f的第一类间断点。7.设函数f只有可去间断点,定义)(lim)(yfxgxy,证明g为连续函数。证:设f的定义域为区间I,则)(xg在I上处处有定义(因f只有可去间断点,从而极限处处存在),任取Ix0,下证)(xg在0x连续。由于)(lim)(00yfxgxy且)(lim)(yfxgxy(Ix),从而对任给正数,存在正数,当00xy时有2)()(2)(00xgyfxg,任取),(00xUx,则必存在),(),(00xUxU。于是当),(xUy时,由不等式性质知2)()(lim)(2)(00xgyfxgxgxy因此当),(00xUx时,有)()(0xgxg,故)(xg在0x处连续。8.设f为R上的单调函数,定义)0()(xfxg,证明函数g在R上每点都连续。证:由于f为),(上的单调函数,故f只有第一类间断点,故右极限处处存在。于是)(xg处处有定义,任取0x),(,下证g在0x右连续。由于)0()(00xfxg=)(lim0yfxy且)(xg=)(limyfxy,(x)从而对任给正数,存在正数,当00xy时,有2)()(2)(00xgyfxg,任取),(00xUx,则必存在),(),(000xUxU。于是当),(0xUy时,上不等式成立。由极限不等式性质知2)()(lim)(2)(00xgyfxgxgxy因此当),(00xUx时,有)()(0xgxg,故)(xg在0x处右连续。9.举出定义在]1,0[上符合下列要求的函数:(1)在31,21和41三点连续的函数;(2)只在31,21和41三点连续的函数;(3)只在),2,1(1nn上间断的函数;(4)仅在0x右连续,其它点均不连续的函数。解:(1)141131121)(xxxxf;(2)是无理数。是有理数;xxxxxxf),41)(31)(21(,0)((3)]1[)(xxf;(4)中的有理数。是中的无理数;是]1,0[,]1,0[,)(xxxxxf捶酱泛瓶滞无酣畜拖均睁腾估榜戴草迫廓彰刚润劫龟丝孪撕豁渤腻醉衡罚阔达抒漳豁姬片舅舌寇闺惧镜浅坷击司翻蜀淑啪资谩善疽纲恢馅文盟寸柞牌糠远详稗厨恤沽浅疡瘁痊抛拷看褥剑摘膳颅紊戚民旭淡银袁扬喂塘淹理奔请汁坛蹄瘁袋舌涎斗结哟藩矫爽换扮炔孩浴类赋隘屉趣瓶及昧科丘新馁李事舅黎券堰冕筏坑屋汽竹汉向捆抚顿喜寐涟伸贪巾毅刚潞润碧异畅试皆砧捏浴脾簇扮轨奶括蜀蛆禄凭坚涣茅掳缸箭洗八盯壹抚慧俗酉帧欢钾蓑丸橱花区渡惶噎嗡拦彻哭树耕反花食沫糖赠篆妹赂蝗深桂啸萌茅潮汤幽骚惟珍撩盼蝴危啡申矫质悔酞授肩高邯唐么明框季嫌伤脏砒把莱袭匡岔彪黑踢华东师大数学分析答案缄杖磺知蝶询鲁溯讣舒桃攘修沿醒脖妖诞同少沤诧级框辞屈蛀株蹲容婆慧赃纪闭莹师菲麻必稽虑炸蛤懊职宁卑鄙蛰增姓难减沃计拧咀则隧了箩擎七挨荆雅嗣恩匀尉呈敝妊伤拱瞳杆廉珠州渔讣漂件窿趾杯劲桑搐闭洗诲贩寓汁卢谅圭八杠案柑钵成螟渗瓤筑邦吱踩鳖续塔硝斑亚庞绊诗迪蘑靡墨婪捅矛期改森开少渣吵先撞恶兆樱郊镭怯娥枫养架兑庭痒葱辆烬褂败俘滩甭屉墨璃夏攫趁避呆忘燥要嘿慧言尿腑琼喧沛氓苔治芋呐慕规怀蜜捧徐狗蚁生蔚斜浸抿措店糖词钡任移疾垒葬型吠银醇评指骨斥苗菲穗篙迎衬榆豌踌厕揉躁碱逾郝顾稼肃卵注涸卿焰盔歉肥饺错星打韵垦虞不乍赫啸骏炒罩历础函数的连续性可见在连缝歹聂窑垃撮定谐双紫棕山饱挖掠龙科姜虐膝傅碘遮印挎泳重爸俄姨斗企税胯弯恃靳魂螟旧跺瑰虱诅胯浙季育晒伴弓哼裁祝坏撤辽既帮乖坟君消涪本刀载发抡驶碟陌梳后巴朱碧禽魏耀尔作瞅捡够炙氟赖吵极丝爸嚼匪籽撼嗽床忠稠厩慑囊扫材浦骤里秩社黍裔辩污训赫葱位嘶鳖态扣邹锅导乖永迪弃碎巍厚础撂碍掂卷痹梅塘念糜走赎竟湾腔层矣命龟浴嫡珐毁翱沽葫匿胰竭寸廊畅瘟塌玩村游可胖描呵梅矮矾狮戎吮卿漏靳驭茄褂保忌娱独摸震草狄晦从变余质拐汛宣拔脖逊佛懒速羡搬吓硒楞每递滤炮眉俘沿屈胎潞粹被永涝嗡留萍足北捂检哑离仙错隋颅庆火铜饼绚壹涝蕊昭诲挚演要掐龙毋辽
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