二阶线性常系数非齐次微分方程特解简便求法

龙源期刊网二阶线性常系数非齐次微分方程特解简便求法作者：简林祥李德新陈日清来源：《高教学刊》2018年第07期摘要：一般高等数学教材里，关于两类具有特殊形式自由项的二阶线性常系数非齐次微分方程，均需通过求解特征根，才能假设出特解形式。文章通过推导，得到了一种无须求解特征根便能得到特解形式的简便方法，这对求解此类方程提供了一定的便利。关键词：特解；加次；多项式中图分类号：O175.1文献标志码：A文章编号：2096-000X（2018）07-0095-03Abstract：Intheteachingmaterialsofgeneraladvancedmathematics，twokindsoftwoorderlinearconstantcoefficientnon-homogeneousdifferentialequationswithspecialformoffreetermmustbesolvedbysolvingcharacteristicroots.Inthispaper，aconvenientmethodtoobtainthespecialsolutionformisobtained，whichcanprovidesomeconvenienceforsolvingsuchequations.Keywords：specialsolution；addition；polynomial引言（一）二阶线性非齐次方程及其解的结构形如y+p（x）y'+q（x）y=f（x），（1）的方程称为二阶线性非齐次方程（标准形式），其中非齐次项f（x）不恒为零，称为自由项。齐次方程y+p（x）y'+q（x）y=0，（2）称为方程（1）对应的齐次方程。有关方程（1）的解的结构如下（证明从略）：龙源期刊网是齐次方程（2）的通解，y*是非齐次方程（1）的一个解，则y=Y+y*是非齐次方程（1）的通解。如，对非齐次方程y+y=2ex来说：y=C1sinx+C2cosx是对应的齐次方程y+y=0的通解，y*=ex是原非齐次方程的一个解（读者自行验证），因此y=C1sinx+C2cosx+ex是所给的方程的通解。定理2设非齐次方程（1）右端f（x）是几个函数之和（或差），如y+p（x）y'+q（x）y=f1（x）±f2（x），而y1*与y2*分别是方程y+p（x）y'+q（x）y=f1（x）与y+p（x）y'+q（x）y=f2（x）的解，则y*=y1*±y2*是原方程的解。定理2是线性非齐次方程特解的叠加（或减）原理。由定理2，可得：若y1*与y2*都是非齐次方程（1）的解，则y*=y1*-y2*是对应的齐次方程（2）的解。定理3设y1+iy2是方程y+p（x）y'+q（x）y=f1（x）+if2（x）的解，其中p（x），q（x），f1（x），f2（x）为实值函数，i为纯虚数.则y1与y2分别是方程y+p（x）y'+q（x）y=f1（x）与y+p（x）y'+q（x）y=f2（x）的解。（二）两类特殊的二阶线性常系数非齐次方程的解法二阶线性常系数非齐次方程的标准形式是y+py'+qy=f（x），（3）其中p，q为常数，自由项f（x）不恒为零。龙源期刊网非齐次方程（3）对应的齐次方程为y+py'+qy=0。（4）为方便起见，方程（4）的特征多项式、特征方程和特征根也称为方程（3）的特征多项式、特征方程和特征根。由定理1可知，求方程（3）的通解，归结为求方程（4）的通解和方程（3）的一个特解。由于方程（4）的通解求法已解决，所以只需讨论方程（3）特解y*的求法。对一般自由项f（x），求方程（3）特解没有很简明有效的方法，我们只研究自由项f（x）为下列两种常见形式时，方程（3）特解y*的求法：f（x）=Pm（x）e？姿x；f（x）=Pm（x）e？姿xcos？棕x或Pm（x）e？姿xsin？棕x，其中Pm（x）为m次多项式，？姿，？棕为常数。（a）y+py'+qy=Pm（x）e？姿x情形由于方程右端是多項式Pm（x）与指数函数e？姿x的乘积，而多项式与指数函数乘积的各阶导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此可以推测y*=Q（x）e？姿x（其中Q（x）是某个待定多项式）可能是方程（3）的特解。将y*及y*'，y*代入方程，两边消去e？姿x，整理得Q（x）+（2？姿+p）Q'（x）+（？姿2+p？姿+q）Q（x）=Pm（x），即Q（x）+T'（？姿）Q'（x）+T（？姿）Q（x）=Pm（x），（5）其中的系数T（？姿）=？姿2+p？姿+q，T'（？姿）=2？姿+p分别是特征多项式T（r）在r=？姿的值和导数值。方程（5）就是待定多项式Q（x）所应该满足的条件。由于方程（5）右边Pm（x）是已知的m次多项式，可以推测Q（x）也是某个多项式，且使（5）式左边也是m次多项式。注意：比较（5）式两端同次项系数，可得m+1个方程联立起来的方程组，因而一般来说，待定多项式Q（x）中可以只含m+1个待定系数。下面根据（4）式左边的系數T（？姿），T'（？姿）是否为零，来确定Q（x）的最高幂次及形式。具体讨论如下：龙源期刊网（？姿）≠0，即？姿不是特征根，则Q（x）必是一个m次多项式，此时可令Q（x）=Qm（x）（Qm（x）为待定m次多项式，只含m+1个待定系数）。2.若T（？姿）=0但T'（？姿）≠0，即？姿是单特征根，则Q'（x）必是一个m次多项式，于是Q（x）必是一个m+1次多项式，为了简便常数项取为零，以使得Q（x）只含m+1个待定系数，此时可令Q（x）=xQm（x）。3.若T（？姿）=0且T'（？姿）=0，即？姿是二重特征根，则Q（x）必是一个m次多项式，于是Q（x）必是一个m+2次多项式，为了简便常数项与一次项系数取为零，以使得Q（x）只含m+1个待定系数，此时可令Q（x）=x2Qm（x）。综上所述，二阶线性常系数非齐次方程y+py'+qy=Pm（x）e？姿x的特解具有形式：y*=xkQm（x）e？姿x，其中Qm（x）是与Pm（x）同次的待定多项式，而k按？姿不是特征根、是单特征根或是二重特征根依次取0，1或2，即k表示？姿作为特征根的重数。有了特解y*的上述形式后，把y*代入给定的微分方程，利用待定系数法，即可求得特解y*。这种方法的特点是不用积分就可以求出y*来，称为待定系数法或待定特解法。注：把y*=xkQm（x）e？姿x代入原微分方程等价于把相应的Q（x）=xkQm（x）代入方程Q（x）+T'（？姿）Q'（x）+T（？姿）Q（x）=Pm（x）。特别地，当？姿=0时，二阶线性常系数非齐次方程y+py'+qy=Pm（x）的特解具有形式：y*=xkQm（x），其中k表示？姿=0作为特征根的重数。更特别地，二阶线性常系数非齐次方程（A为非零常数）龙源期刊网=A的特解具有形式：y*=axk，其中k表示？姿=0作为特征根的重数，a为待定常数。（b）y+py'+qy=Pm（x）e？姿xcos？棕x或Pm（x）e？姿xsin？棕情形由欧拉公式知道，Pm（x）e？姿xcos？棕x和Pm（x）e？姿xsin？棕x分别是Pm（x）e（？姿+？棕i）x=Pm（x）e？姿x（cos？棕x+isin？棕x）的实部和虚部。根据定理3可知，此时方程的特解是方程y+py'+qy=Pm（x）e（？姿+？棕i）x（6）的特解的实部和虚部，而套用情形（a）的结论，并注意到？姿+？棕i不可能是实系数的特征方程的二重根，可知方程（6）的特解具有如下形式：y*=xkQm（x）e（？姿+？棕i）x，其中Qm（x）是与Pm（x）同次的待定多项式（可以是复系数的），而k按？姿+？棕i不是特征根或是单特征根依次取0或1。进一步取出特解的实部和虚部，可得结论：二阶线性常系数非齐次方程y+py'+qy=Pm（x）e？姿xcos？棕x或Pm（x）e？姿xsin？棕x的特解具有形式：y*=xke？姿x[Qm（x）cos？棕x+Rm（x）sin？棕x]，其中Qm（x）和Rm（x）是m次多项式，而k按？姿+？棕i不是特征根，是特征根依次取0或1，即k表示？姿+？棕i作为特征根的重数。龙源期刊网注：把y*代入原方程等价于把Q（x）=xk[Qm（x）cos？棕x+Rm（x）sin？棕x]代入方程Q（x）+T'（？姿）Q'（x）+T（？姿）Q（x）=Pm（x）cos？棕x或Pm（x）sin？棕x。特别地，当？姿=0时，二阶线性常系数非齐次方程y+py'+qy=Pm（x）cos？棕x或Pm（x）sin？棕x的特解具有形式：y*=xk[Qm（x）cos？棕x+Rm（x）sin？棕x]，其中k表示？姿+？棕i=0+？棕i作为特征根的重数。更特别地，二阶线性常系数非齐次方程（A为非零常数）y+py'+qy=Acos？棕x或Asin？棕x的特解具有形式：y*=xk（acos？棕x+bsin？棕x），其中k表示？姿+？棕i=0+？棕i作为特征根的重数，a，b为待定常数。上述一般高等数学教材里，关于二阶线性常系数非齐次微分方程y+py'+qy=Pm（x）e？姿x（7）（其中p，q，？姿为常数，Pm（x）为m次多项式）的特解都写成如下形式：y*=xkQm（x）e？姿x，其中k是？姿作为特征根的重数。y+py'+qy=e？姿x[Pm（1）（x）cos？茁x+Pm（2）（x）sin？茁x]（8）（其中Pm（1）（x），Pm（2）（x）是m次多项式，？姿，？茁是常数）的特解都写成如下形式：y*=xke？姿x[Pm（1）（x）cos？茁x+Pm（2）（x）sin？茁x][1]龙源期刊网是？姿+iw作为特征根的重数。这里，特解形式的确定涉及到？姿是几重特征根，即k值的考察，在教学中较有难度。是否可以不考察k，就能给出特解形式呢？一、主要结果及推导首先，为了方便，定义关于r的一元二次多项式T（r）=r2+pr+q为微分方程（7）的特征多项式。由于方程右端是多项式Pm（x）与指数函数e？姿x的乘积，而多项式与指数函数乘积的各阶导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此可以推测y*=Q（x）e？姿x（其中Q（x）是某个待定多项式）可能是方程（7）的特解。将y*代入方程，两边消去e？姿x，整理得（？姿2+p？姿+q）Q（x）+（2？姿+p）Q'（x）+Q（x）=Pm（x），即T（？姿）Q（x）+Q（x）+T'（？姿）Q'（x）=Pm（x），（9）其中的系数T（？姿）=？姿2+p？姿+q，T'（？姿）=2？姿+p分别是特征多项式T（r）在r=？姿的值和导数值。方程（9）是待定多项式Q（x）所应该满足的条件。为了便于记忆，将方程（9）改写成T（i）（？姿）Q（i）（x）=Pm（x）。（10）利用以下表格，先豎乘，后相加，很容易记住（10）式左边形式。由于方程（10）右边Pm（x）是已知的m次多项式，可以推测Q（x）也是某个多项式，且使（10）式左边也是m次多项式。由于（10）式左边的系数T（i）（？姿）（i=0，1）可能不为零，也可能为零，因此待定多项式Q（x）可能是m次，m+1次或m+2次多项式，即Q（x）可能是最高次数为m+2次的多项式，称之为疑似m+2次多项式，记为Q（x）=Qm+2（x）。综上分析，二阶线性常系数非齐次微分方程y+py'+qy=Pm（x）e？姿x龙源期刊网的特解具有形式：y*=Qm+2（x）e？姿x，其中Q（x）=Qm+2（x）是疑似m+2次多项式。有了特解y*的上述形式后，把y*代入给定的微分方程，或把相应的Q（x）=Qm+2（x）代入方程（10），利用待定系数法，即可求得特解y*。特别地，方程y+py'+qy=Pm（x）的特解具有形式：