小船渡河问题练习题

（1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速）、v（船的实际速度）。（3）三种情景：①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，1vdt短（d为河宽）。②过河路径最短（12vv时）：合速度垂直于河岸，航程最短，ds短。③过河路径最短（12vv时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：21vvsin，最短航程：.dvvsinds12短问题3：小船渡河的最值问题：一小船渡河，河宽d=180m，水流速度s/m5.2v1。（1）若船在静水中的速度为s/m5v2，求：①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？（2）若船在静水中的速度s/m5.1v2，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移。（1）若s/m5v2。①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为s/m5v2。s36s5180vdt2s/m525vvv2221合.m590tvs合②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一角度α。垂直河岸过河这就要求0v水平，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有12vsinv得30。所以当船头向上游偏30°时航程最短。s=d=180m..s324s32518030cosvdt2（2）若.s/m5.1v2与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程sinds，欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即2vv合。535.25.1vvsin12，得α＝37°。所以船头应向上游偏37°。s150s2.118037cosvdt2。m300tvs.s/m237cosvv1合合。变式4：一艘小艇从河岸A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示，如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求：河的宽度。解析：设河宽为d，河水流速为水v，船速为船v，船两次运动速度合成如图所示。依题意有：21tsinvtv船船①1tvBC水②cosvv船水由②可得min/m12v水由①得8.0sin，故6.0cos，河宽m200m106.012tvd1船。变式5：船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为（）答案：C