初一数学方法和思想专题

掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程1初中数学思想和解题方法专题一、学习指引1．知识要点：数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想2．方法指引：（1）数形结合法：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．（2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分讨论应逐级进行．（3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．（4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函数思想．二、分类突破（一）数形结合1．最小的正整数是_____最大的负整数是______绝对值最小的数是______2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________4、设把连接起来”号用“且bbaababa,,,.0,0。点拨：借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确5、化简三个数a、b、c在数轴上的对应点如图1，化简accabba掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程2变式1、化简bacbca变式2、化简caaccbba点拨：从图形中获取有用信息是解决此类题的关键6、线段AB,延长AB到C，使BC=13AB，D为AC的中点，若AB＝9cm，则DC的长为。7、已知，线段AB=6cm，在直线AB上截取线段BC=4cm，若M，N分别是AB，BC中点（1）求M，N两点间的距离。（2）AB=acm，BC=bcm，其他条件不变，此时MN是多少？（3）由（1），（2），你发现什么规律？8、平面内，若45AOC，65BOC，则AOB；点拨：正确画出图形是突破此类题的关键二、分类讨论法1、解绝对值方程|x+5|+2=52、已知||3,||2,0,xyxyxy且则_______.3、已知的值，求的绝对值为互为倒数，互为相反数，且、smnbasnmabba3,,0变式、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方是4，求200920082)()()(cdbaxcdbax的值。掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程34、已知a为有理数且a0，则+aa2=________变式1、、已知a、b均为不等于0的有理数，则代数式ababbbaa的值为；变式2、求代数式aabbabab2的值为___________变式3、若ccbbaaabc32,0的所有可能值是__________点拨：合理分类是解决这类题的关键5、解关于x的方程(2)1axb．6、如果A、B、C在同一条直线上，线段AB=6cm，BC=2cm，则A、C两点间的距离是（）A、8cmB、4cmC、8cm或4cmD、无法确定变式1：如果在同一条直线上顺次截取A、B、C，线段AB=6cm，BC=2cm，则A、C两点间的距离是（）变式2、线段AB=6cm，BC=2cm，则A、C两点间的距离是（）A、8cmB、4cmC、8cm或4cmD、无法确定7、已知A、B、C三点共线，线段AB=60，M为其中点，线段BC=28，N为其中点，求MN的长。(2)如果设AB=a，BC=b，表示出MN的长（三）整体代入法1、()19981....3121)(19991....211()19981....211)(19991....3121变式1、已知代数式x＋2y的值是3，则代数式2x＋4y＋1的值是（）变式2、．当代数式235xx的值为7时，代数式2392xx的值是_______．变式3、已知,5,222xyyxyx则222yxyx的值为（）变式4、已知代数式yxyx的值是3，代数式)(3)(2yxyxyxyx的值为（）.掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程4变式5、当2x时，635axaxax的值为9，那么当2x时，多项式的值为（）变式6、已知代数式yx9的值是3，代数式yx333的值为（）.变式7、,3,2abba则)223()4()232(abababbaabba（）思考：已知：,1,21cbba求232)()()(cabcab的值.2、【例6】如图：C是线段AB上的一点，点D是线段AC的中点，点E是线段CB的中点。①、如果ABa，ADb，求EB②、如果DEc,求AB5、如图,已知90AOB,30BOC,OM平分AOC,ON平分BOC。（1）求MON的度数；（2）若（1）中AOB,其他条件不变,求MON的度数；（3）若（2）中BOC，其他条件不变,求MON的度数；（4）从前3问中可以看出什么规律.四、化归思想所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．1、20052004)135()513(2、20001999)2()2(点拨：根据乘方的意义转化为乘法解决3、)19991)(110001)(110011()...120011()120021()120031(ABCOMN掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程5点拨：由于负因数的个数无法确定，所以转化为等差数列的项数问题解决变式：（9-10）（10-11）…（101-102）（102-103）4、11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；变式、1995-1992+1989-1986+1983-……+15-12+9-6+35、①下图中共有条线段，个三角形。点拨：一条直线上的线段条数可以有序思考后转化为等差数列的求和。数三角形和角可以转化为数线段问题。生活中很多问题也可以用此法解决。变式、一条汽车线路上共．有7个站，用于这条线路上的车票最多________种。②时钟在12点、1点、1点半、1点20分、1点57分时，时针和分针的夹角分别是、、、、。点拨：钟表夹角问题可以转化为追及问题解决6、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离.如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择.不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置.问题⑴：有n台机床时，P应设置在何处？问题⑵：根据问题⑴的结论,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值.BCDEFGA掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程6五、方程的思想1、已知方程3)2(1axaa是关于x的一元一次方程，试求字母a的值；2、要使4x是方程0))(3(axx的解，则a；3、若25x与92x互为相反数，则x的值为；4、若2522nba与mnmba313是同类项，则nm32；5、若0)3(12ba，则关于x的方程03abx的解是（）6、1B、－1C、3abD、－27、要使多项式221523102xkxyyxyx中，不含xy项，则k应取（）A、―1B、1C、―14D、148、已知方程1324xmx和方程1623xmx的解相同。（1）求m的值；（2）求代数式20062005)572()2(mm的值；8、如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长．9、如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．10、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程7六、特值法1、已知y=31x-1,那么31x2-2xy+3y2-2的值是_________点拨：当已知代数式中有两个字母时可以用特值法更简单。2、已知10a，比较221,,,1aaaa的大小（）七、排除法：1、下列说法错误的是()。A、不相交的两条直线叫做平行线B、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短C、平行于同一条直线的两条直线互相平行D、平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2、下列判断中，正确的是（）A、正整数和负整数统称为整数B、整数和分数统称为有理数C、正数和负数统称为有理数D、整数、分数和零统称为有理数3、已知一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是（）A、正有理数B、正有理数和0C、负有理数D、0或14、若a为有理数，下列判断正确的是（）A、a是正数B、a是负数C、a不是正数D、a总比a大八、从特殊——一般——特殊的方法解规律题1、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256……，则231的结果的个位数应为（）。A、2B、4C、8D、62．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．3．（2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．22nB．44nC．44nD．4n……第1个第2个第3个（第23题）输入x12xx+3输出x为偶数x为奇数掌握一种方法比做100道题更有效认准了目标你就只需要风雨兼程84(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小．．的三角形的个数有个．5、（2009年青海）观察下面的一列单项