2012届全品高考复习方案新课标北师大版数学(文科)第9讲-对数与对数函数

第９讲│对数与对数函数第９讲对数与对数函数第９讲│知识梳理知识梳理1．对数的概念(1)如果ab＝N，那么b＝____________________.(2)以____为底的对数叫常用对数，N的常用对数简记为____；以____为底的对数叫自然对数，N的常用对数简记为____．logaN(a0，a≠1，N0)10lgNelnN第９讲│知识梳理2．积、商、幂、方根的对数(M、N都是正数，a＞0，a≠1)的运算性质(1)loga(M·N)＝________________；(2)logaMN＝________________；(3)logaMn＝____________；(4)loganm＝__________.3．对数的换底公式及对数恒等式(1)恒等式：logaab＝____，loga1＝____，alogaN＝____；(2)换底公式：logaN＝logbNlogba，logab＝1logba(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM1nlogamb00N第９讲│知识梳理(0，＋∞)(－∞，＋∞)第９讲│知识梳理第９讲│知识梳理2．指数函数第９讲│知识梳理5.指数函数与对数函数的关系对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为______，它们的图象关于__________对称．反函数直线y＝x要点探究第９讲│要点探究►探究点1对数式的化简与求值1(1)计算：log2748＋log212－12log242－1＝________.(2)[2009·辽宁卷]已知函数f(x)满足：x≥4时，f(x)＝12x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)为________．(3)已知log189＝a,18b＝5，试用含有a，b的式子表示log3645的值为________．第９讲│要点探究[思路](1)熟练运用对数运算性质和法则；(2)因f(x)是分段函数，故先判断自变量的范围，再选择合适的解析式，同时注意对数恒等式的运用；(3)当指数的取值范围扩充到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算．因此，当一个题目中同时出现指数式与对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达式．第９讲│要点探究(1)－32(2)124(3)a＋b2－a[解析](1)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.第９讲│要点探究(2)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)，且3＋log23＞4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝18×12log23＝18×12log1213＝18×13＝124.第９讲│要点探究(3)由18b＝5，得b＝log185，又log189＝a，∴log189＋log185＝log1845＝a＋b.∴log3645＝log1845log1836＝a＋b1＋log182＝a＋b2－log189＝a＋b2－a.第９讲│要点探究[点评]熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解决本题的基础和前提．运用对数的运算法则时，要注意取值范围，同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆．涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质，可先因式分解再使用．第９讲│要点探究１计算：2(lg2)2＋lg2·lg5＋22－lg2＋1.2[2010·中山月考]若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．[解答]１.原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋22－2lg2＋1＝lg2(lg2＋lg5)＋|lg2－1|＝lg2＋(1－lg2)＝1.２.∵x＝1log34＝log43，∴4x＋4－x＝4log43＋4log43－1＝3＋13＝103.第９讲│要点探究►探究点2对数函数的图象与性质例2已知函数f(x)＝loga1＋x1－x(a0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)判断函数在(0,1)上的单调性；(4)求使f(x)0的x的取值范围．[思路](1)根据使函数解析式有意义所满足的条件，求得函数定义域；(2)利用f(x)与f(－x)之间的关系判断函数的奇偶性；(3)根据函数单调性的定义判断；(4)利用函数的单调性解不等式．第９讲│要点探究解：(1)由1＋x1－x0，解得－1x1，∴函数的定义域为(－1,1)；(2)函数的定义域关于原点对称，f(x)＋f(－x)＝loga1＋x1－x＋loga1－x1＋x＝loga1＝0，∴f(x)是奇函数；第９讲│要点探究(3)设0x1x21，则1＋x21＋x10,1－x11－x20，∴－x1＋x2＋x1－x21，∴f(x2)－f(x1)＝loga1＋x21－x2＋loga1－x11＋x1＝loga－x1＋x2＋x1－x2.∴当a1时，loga－x1＋x2＋x1－x20，∴f(x2)f(x1)，∴函数在(0,1)上为增函数；当0a1时，loga＋x1＋x2－x1－x20，∴f(x2)f(x1)，∴函数在(0,1)上为减函数；第９讲│要点探究(4)当a1时，由loga1＋x1－x0＝loga1，得1＋x1－x1，解得0x1，当0a1时，由loga1＋x1－x0＝loga1，得01＋x1－x1，解得－1x0.[点评](1)研究函数应确定函数的定义域，这是解函数问题首先必须解决的问题；(2)当对数的底数为参数时，一般地要根据问题的需要进行分类讨论；(3)利用函数的单调性，来“脱去”对数符号，体现了利用函数性质解不等式的一般思考规律．函数的定义域是函数的生命之域，在解决对数问题时，要在函数的定义域内解决.第９讲│要点探究[2010·东皖高级中学月考]若函数f(x)＝a－x(a＞0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图像大致是()图9－1第９讲│要点探究D[解析]由函数f(x)＝a－x(a＞0，a≠1)是定义域为R的增函数知0＜a＜1，所以函数y＝logax在(0，＋∞)上为减函数．将y＝logax的图象向左平移一个单位即得f(x)＝loga(x＋1)的图象，故应选D.第９讲│要点探究►探究点3与指数函数、对数函数有关的大小比较例３[2010·全国卷Ⅰ]设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()A．abcB．bcaC．cabD．cba[思路]利用中间变量比较大小．第９讲│要点探究C[解析]方法一：a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，而1log2elog23，所以ab，c＝5－12＝1514＝12，而52＝log24log23，所以ca，综上cab.方法二：a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，1log2elog232，121log231log2e1，c＝5－12＝1514＝12，∴cab.[点评]比较大小是指数函数与对数函数的单调性的一个重要应用，在比较时要注意底数与单调性的关系．第９讲│要点探究[2010·抚州一中模拟]已知a＝log20.3，b＝20.1，c＝0.21.3，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜aC[解析]由于a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.1＞20＝1，c＝0.21.3∈(0,1)，所以应选择C.第９讲│规律总结规律总结1．应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键．2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，可以从概念、图象、性质几方面理解它们间的联系与区别．3．对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有关对数问题时必须予以特别重视的，另外对数函数问题尽量化同底，以方便运算和运用性质．第９讲│规律总结4．对数函数的性质主要是单调性，对数函数y＝logax单调性与底数a与1的大小有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．5．利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用．