第四章 单自由度机械系统动力学

机械运转的三个阶段：本章讨论正动力学问题，即求解在施加于机械的真实外力作用下，机械系统的运动随时间而变化的规律。第四章单自由度机械系统动力学阶段速度特征能量特征启动原动件的速度从零逐渐上升到开始稳定的过程Wd-Wc=E2-E10稳定运行原动件速度保持常数或在正常工作速度的平均值上下作周期性的速度波动Wd-Wc=E2-E1=0停车原动件速度从正常工作速度值下降到零Wd-Wc=E2-E10三个运转阶段的特征：启动阶段——机械的速度产生周期性波动，会在运动副中产生附加动压力，引起系统的振动在机械的启动和停车阶段，即过渡历程中，会产生较大的动载荷。单自由度机械系统动力学分析的步骤：1、将实际的机械系统简化为等效动力学模型；2、根据等效动力学模型列出系统的运动微分方程；3、应用解析方法或数值方法求解系统运动微分方程，求出等效构件的运动规律。4.1作用在机械上的力一、系统受力驱动力:原动机发出传给驱动构件的力，做正功。生产阻力:完成有用功时,作用于机械上的阻力,此力作负功；重力:它随重心向上运动或向下运动而作负功或正功，在一个循环内做功为零。重型机械要计及重力；摩擦力:由运动副表面摩擦产生的有害阻力，作负功一些效率较低的机构则应计入摩擦力的影响；在动力分析中主要涉及的力是驱动力和生产阻力常见的生产阻力有：生产阻力为常数：如起重机的起吊重量；生产阻力随位移而变化：如往复式压缩机中活塞上作用的阻力；生产阻力随速度而变化:如鼓风机,离心泵的生产阻力；生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况：驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况；驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时，驱动力与变形成正比；驱动力是速度的函数：如一般电动机，机械特性均表示为输出力矩随角速度变化的曲线。二、三向异步发动机的机械特性额定功率PH（kw),额定转速nH(r/min),同步转速n0(r/min)最大转矩Mk(N.m)额定转矩MH(N.m)起动转矩MD(N.m)DAC段是稳定运转阶段,可以用二次曲线描述其机械特性；DA段是不稳定运转阶段，可以一次直线描述三者关系：Mk=λMH；MD=λMH，λ是过载系数k机械特性曲线上四个特征点的坐标分别是：A(Mk,ωk)，B(MH,ωH)，C(0,ω0），D(M0,0)0021009550,,3030,,()(1HHHHHkHDHkHPMnnnMMMM其中：机械特性曲线中的AC段是工作段，常用二次函数表示22002H2k0HHkkMabcabcabcMabcMa,b,c例题1：某用于起吊重物的电动葫芦的电动机，型号为Y90L-4，额定功率PH=1.5kW，同步转速n0=1500r/min，额定转速nH=1410r/min,求该电动机在额定转速附近的机械特性。解：在加载过程中，可采用直线形式的机械特性Mab额定角速度和同步角速度：00147.65rad/s;157.08rad/s3030HHnn额定转矩：955010.1595N.mHHHPMn将B、C两点的值代入线性方程得：169.232,1.0773ab则机械特性为：169.2321.0773M过程如下：（1）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件；（2）计算等效力，根据做功相等的原则进行；（3）计算等效质量，根据动能相等的原则，将各个构件向等效构件进行等效；（4）对等效构件列运动方程；（5）解方程。4.2单自由度系统等效力学模型对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究，将系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。取做直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量取做定轴转到的构件作为等效构件时，作用于系统上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量一、等效力和等效力矩高速冲槽机的六杆机构单自由度系统的等效力学模型设Fk（k=1,2…..m）和Mj(j=1,2,….n)分别为作用于机械上的外力和外力矩，根据功率相等有1111mnekkjjkjmnekkjjkjMFvMFvFvM求出的等效力合等效力矩分别是：111111coscosmnmnjjkkkekjkjkjkjmnjkkekjkjvvMFMFMvFFMvv等效力和等效力矩可根据功率相等来折算ω—等效构件的角速度v—等效构件的速度vk—外力Fk作用点的速度ωj—外力偶Mj作用构件的角速度αk—Fk与vk之间的夹角等效力和等效力矩不仅与外力或外力矩有关，而且与传动比ωj/v，vk/v有关。位移和转角叫广义坐标，速度和角速度叫广义速度。称为传动速比。vvvvjkjk,;,二、等效质量和等效转动惯量平面运动构件的动能为：221122ksEmvJm—构件质量J—构件相对质心的转动惯量vs—构件质心运动速度的大小ω—构件的角速度整个机构的动能等于所有构件的动能之和22111()22njsjjjjEmvJ根据能量相等有：22212221111()222111()222nejsjjjjnejsjjjjJmvJmvmvJ221221[()()][()()]nsjjejjjnsjjejjjvJmJvmmJvv得到等效转动惯量与等效质量分别为：式中，ω是等效构件的转动角速度；v是等效构件的平动速度。例题：在曲柄滑块机构中，设曲柄AB相对于转轴的转动惯量为J01，连杆BC的质心位于S2，其质量和相对于质心的转动惯量为m2和J2,滑块C的质量为m3,求将构件1、2、3转化到曲柄AB上的等效转动惯量。解：各构件动能可分别表示为：222211122222331111;;2222OsCEJEmvJEm根据转化前后系统动能相等有：222221011222231111122222esCJJmvJm求得：22222012231111()()()2sCevJJmJm三、运动方程式描述等效构件运动的方程式有两种方法：能量形式的运动方程式力矩形式的运动方程式1、能量形式的运动方程式根据动能定理，等效力矩所作的功W等于等效构件动能的增量ΔEk，即：ΔEk=W，若等效构件由转角φ1运动到φ2时，角速度由ω1变为ω2，则：2122221111d22eeeJJM—能量形式的运动方程Je1,Je2分别为等效构件在位置φ1和φ2时的等效转动惯量。2、力矩形式的运动方程式根据动能定理，等效力矩所作的功W等于等效构件动能的增量ΔEk，即：ΔEk=W，其微分形式为：—力矩形式的运动方程ddkEPtP—等效力矩的瞬时功率,P=Meω,Ek—等效构件的动能2d1()d2eeJMt222dd1d()d2ddeeeJJMtt一、等效力矩是转角的函数4.3运动方程的求解方法若机械所受到的主动力是机械位置的函数，即：()eeMM由积分形式的动能定理有：0220011()()()d22eeeJJM可得角速度ω和转角φ的函数关系02002()()()()d()eeeJWWMJ式中00dddttt例题：在曲柄滑块机构中,已知等效力矩和曲柄转角φ1之间的关系如表所示,若初始状态为：100,0,62rsd/st求曲柄角速度ω随φ1变化的关系。等效力矩与曲柄转角关系2002()()()eeJWJ解：主要是求W(φ),用梯形法求此积分，可认为每10度的间隔内等效力矩Me是直线变化的,如图。每个小区间的长度为：100.174533rad180φ若以Wi表示(1)ii处的()iW,则有：01110()()2iieie二、等效转动惯量是常数，而等效力矩是角速度的函数时运动方程的求解起重机起吊装置，由电动机驱动的水泵和鼓风机等都属于等效力矩是角速度函数的情况。求解方法解析法：适用于等效力矩的函数易于积分的情况数值法：函数过于复杂且不易积分或等效力矩以一系列离散数值给出仅含定传动比的机械，等效转动惯量是常数。一、解析法通常应用力矩形式的运动方程，即：d()deeJMt222dd1d()d2ddeeeJJMtt002dettJabc因等效转动惯量是常数，上式简化成：00d()eettJM当()eMab有00lneJabttbab有2()eMabc积分后得到：002222222(arctanarctan)444(40)eJcbcbttacbacbacbbac220022202(24)(24)ln4(24)(24)(40)eJcbbaccbbacttbaccbbaccbbacbac此时，等效力矩的二次函数表达式无根，表示机械没有稳定转速，这个解只能出现在机械停机的过程中。角速度在启动过程中逐渐增加，达到某一个值时，Me=0，这时的转速为稳定转速。d()()deeMJ000(ln)eJaabbbab二、数值解法一般是用数值方法求微分方程，如龙格-库塔法等。三、等效力矩是转角、角速度和时间的函数222dd1d()d2ddeeeJJMtt力矩形式的运动方程：改写成：'2'd()d1()()(,);d2deeeeeJJJMJt引入变换ddddddddtt21(,)'()d2deeeMJJ令21(,)'()2(,)eeeMJfJ则d(,)df可利用龙格—库塔法求解，求出各φ值下的ω也可用加连杆机构的方法来部分平衡机构的惯性力。3、加平衡机构法用加齿轮机构的方法平衡惯性力时，平衡效果好，但采用平衡机构将使结构复杂、机构尺寸加大，这是此方法的缺点。本章结束！