19.构圆解题

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:[phone])数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题[母题]Ⅰ(6-19):构圆解题(135)399构圆解题[母题]Ⅰ(6-19):(2008年全国I高考试题)若直线byax=1通过点M(cosα,sinα),则()(A)a2+b2≤1(B)a2+b2≥1(C)21a+21b≤1(D)21a+21b≥1[解析]:由点M(cosα,sinα)在单位圆O:x2+y2=1上,及题知直线l:byax=1与单位圆O不相离圆心O到直线byax=1的距离d≤圆O的半径r=121a+21b≥1,故选(D).[点评]:解答本题的关键是根据点M(cosα,sinα)在单位圆O:x2+y2=1上,把条件进行等价转化为:直线l与单位圆O不相离,从而妙解;基本结论:“若点P(cosα,sinα),则点P在单位圆x2+y2=1上,且角α对应角的终边为OP”是构圆解题的理论依据,构单位圆,以单位圆为桥梁,在求解三角函数问题中可收到意想不到的神奇效果.[子题](1):(2004年浙江高考试题)点P从(1,0)出发沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动32弧长到达Q点,则Q的坐标为()(A)(-21,23)(B)(-23,-21)(C)(-21,-23)(D)(-23,21)[解析]:因P(cos32,sin32)P(-21,23).故选(A).注:关注点P(cosα,sinα)中角α的几何意义:“角α对应角的终边为OP”,可妙用几何直观解决三角问题.[子题](2):(2014年上海高考试题)设常数a使方程sinx+3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.[解析]作直线l:y+3x=a与单位圆O:x2+y2=1,则本题等价于直线l与单位圆O有三个交点直线l过点A(1,0)(此时,有两解x1=0,x3=2π,重合于点A)a=3直线l与单位圆O交于点B(21,23)x2=3x1+x2+x3=37.注:在利用母题结论构圆时,一定注意点P必须是(cosα,sinα)的形式,这样角α才有几何意义,利于直观解题;对形如asinα+bcosα=c的相关问题转化为直线l:ay+bx=c与圆O:x2+y2=1的问题解决直观简单.[子题](3):(2008年重庆高考试题)函数f(x)=xxcos45sin(0≤x≤2π)的值域是()(A)[-41,41](B)[-31,31](C)[-21,21](D)[-32,32][解析]:由f(x)=xxx22sin)2(cossin,令A(-2,0),P(cosx,sinx),则点P在单位圆O:x2+y2=1上,设∠OAP=θ,作PH⊥x轴于H,则|PH|=|sinx|,|PA|=xx22sin)2(cos|f(x)|=||||PAPH=sinθ≤sin300=21.故选(C).注:利用母题结论构圆解决含三角函教的分式函数相关题是构圆解题的典型,其中的关键是通过构圆,寻找各式的几何意义,从而利用几何解决问题.[子题系列]:1.(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)已知点P(cosα,sinα)在直线l:byax=1上,且l⊥OP(O为坐400[母题]Ⅰ(6-19):构圆解题(135)标原点),则()(A)a+b=1(B)a2+b2=1(C)a1+b1=1(D)21a+21b=12.(1984年全国高中数学联赛试题)若动点P(x,y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动,则点Q(-2xy,y2-x2)的运动方程是()(A)以角速度ω在单位圆上顺时针运动(B)以角速度ω在单位圆上逆时针运动(C)以角速度2ω在单位圆上顺时针运动(D)以角速度2ω在单位圆上逆时针运动3.(1990年全国高中数学联赛试题)设A(2,0)为平面上的一定点,P(sin(2t-600),cos(2t-600))为动点,则当t由150变到450时,线段AP所扫过的图形的面积是.4.(2014年上海高考试题)方程sinx+3cosx=1在区间[0,2π]上的所有的解的和等于.5.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知sinx+8cosx=7,x是第一象限角,则tanx=.6.(2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)若cosα≠0,sinα+3cosα+1=0,则tanα=()(A)43(B)34(C)-43(D)-347.(2000年第十三届“希望杯”数学邀请赛高二试题)已知方程acosx+bsinx=c在0xπ上有两个根α和β,则sin(α+β)=.8.(2008年同济大学保送生考试数学试题)设方程acosx+bsinx+c=0(a≠0,ca)在0xπ中有两个相异实根α,β,求cos(α+β).9.(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)函数y=sin2cos(θ∈R)的值域是.10.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)函数y=xxcos3sin(-2x2)的单调递减区间是.[子题详解]:1.解:由题知直线l是圆O:x2+y2=1的切线.故选(D).2.解:令x=cosωt,y=sinωt,则-2xy=-sin2ωt=cos(23-2ωt),y2-x2=-cos2ωt=sin(23-2ωt).故选(C).3.解:由点P在单位圆上,sin(2t-600)=cos(1500-2t),cos(2t-600)=sin(1500-2t).当t由150变到450时,点P沿单位圆从A(-21,23)运动到B(21,23),线段AP扫过的面积=扇形面积=6.4.解:由y+3x=1与圆O:x2+y2=1交于A(0,1),B(23,-21)x1=2,x2=611x1+x2=37.5.解:由y+8x=7与圆O:x2+y2=1交第一象限角于A(6552,6539)tanx=43.6.解:由y+3x+1=0与圆O:x2+y2=1交于点A(-53,54)(x=0舍去)tanα=-34.故选(D).7.解:由本题直线l:ax+by=c与圆O:x2+y2=1(上半圆)有两个不同的交点P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则∠POx=α,∠QOx=β∠POQ的平分线的倾斜角=2;由∠POQ的平分线⊥PQtan2kPQ=-1tan2=absin(α+β)=222baab.8.解:同上题tan2=abcos(α+β)=2222baba;9.解:令A(-2,0),P(sinθ,cosθ),则点P在圆x2+y2=1上kAP=sin2cos∈[-33,33];10.解:令A(0,-3),P(cosx,sinx),则y=kAP单调递减区间是(-2,θ),-2θ0,sinθ=-33.