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理科知识框架考试说明1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.掌握直线的参数方程及参数的几何意义.能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题趋势从2010年全国高考看,这部分内容难度属中低档.考查的重点:一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系;二是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量.主要考查对方程中各量几何意义的理解,知识面不太广,重在考查基础知识.使用建议本单元内容是选修4—4坐标系与参数方程.共2讲,第1讲坐标系,第2讲参数方程.这部分内容作为高考的选考内容,在考试中所占的分值为7分,但在培养综合应用基础知识的能力,扩大解题思路,灵活解题上作用很大.特别是参数方程中体现的参数思想,常要渗透到高考综合题的解题过程.为此,在复习中建议注意以下几点:1.高度重视基础知识以课本知识为主,不要刻意加大难度.本单元的重点是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程.极坐标应重点放在极坐标化为直角坐标,并熟练掌握直线、圆的极坐标方程与曲线之间的对应关系.参数方程的重点是普通方程与参数方程的互化,尤其是参数方程化为普通方程.2.注意参数思想的应用参数思想在本单元的体现是简化运算,减少未知量的个数,在轨迹问题、最值、定值问题的解决中起到重要的作用.3.注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交汇由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇,又与解析几何的轨迹方程的求解有关,因此必须加强参数法的应用意识,体会参数法的特点,进一步体验参数法解决实际问题的高效.希望备考时引起足够重视.本单元共2讲,每讲1课时,45分钟单元能力训练卷1课时,共约需3课时.知识梳理1.伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这φ:x′=λ·x,(λ>0)y′=μ·y,(μ>0)极轴样就建立了一个。设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的,记作M(ρ,θ).一般地,ρ≥0,θ为任意实数.3.极坐标与直角坐标的互化:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:;又可得到极坐标系极径极角极坐标x=ρcosθy=ρsinθ关系式:,,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.4.半径为a,圆心坐标为C(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程为.5.柱坐标系与球坐标系:设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),M在xOy坐标面上的投影为M0,点M0在Oxy坐标面上的极坐标为(ρ,θ),则三个有序数ρ、θ、z构成的数组(ρ,θ,z)称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中,限定ρ≥0,0≤θ<2π,z为任意实数.ρ2=x2+y2tanθ=yx(x≠0)ρ=2acosθ设空间中一点P的直角坐标为(x,y,z),记P与原点O的距离|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ,P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ,这样,点P的位置可用有序数组(r,φ,θ)表示,则(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,在球坐标中,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.要点探究►探究点1平面直角坐标系中图象的变换例1通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换,可以把椭圆(x+1)29+(y-1)24=1变为中心在原点的单位圆,求上述平移变换与伸缩变换,以及这两种变换合成的变换.【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心在原点的椭圆,再通过伸缩变换化为中心在原点的单位圆.【解答】先通过平移变换x′=x+1,y′=y-1把椭圆(x+1)29+(y-1)24=1变为椭圆x′29+y′24=1,再通过伸缩变换x″=x′3,y″=y′2把椭圆x′29+y′24=1变为单位圆x″2+y″2=1.由上述两种变换合成的变换是x″=x+13,y″=y-12..【点评】本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象的变换的基本应用.意在通过曲线图象的变换,来表示对应的坐标伸缩变换.对于伸缩变换下图象对应的方程变化也是应该掌握的,但在本讲中只作了解.变式题已知圆x2+y2=16在点P(2,23)处的切线为l,把x2+y2=16向x轴进行压缩,使图象上每一个点的纵坐标缩短为原来的14,得到曲线C.(1)求切线l的方程;(2)判断l与曲线C的位置关系.【思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程.【解答】(1)∵kOP=232=3,∴kl=-33,∴l的方程y-23=-33(x-2),即x+3y-8=0.(2)设P′(x′,y′)是曲线C上的任意一点,则x′=x,y′=14y,即x=x′,y=4y′,代入x2+y2=16,得x′2+16y′2=16.∴曲线C的方程为x2+16y2=16.把直线x+3y-8=0与椭圆方程x2+16y2=16联立,消去x,得19y2-163y+48=0.∵Δ=(163)2-4×19×480,∴直线l与曲线C相离.【点评】曲线的伸缩变换和平移变换在具体解题时往往要综合使用,两个步骤的变换,变换的顺序不同,变换的大小是不一样的,通过实例比较加以区别.►探究点2极坐标与直角坐标的互化例2[2009·盐城模拟]若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cosθ+π3,它们相交于A,B两点,求线段AB的长.【思路】利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程.【解答】由ρ=1得x2+y2=1.又∵ρ=2cosθ+π3=cosθ-3sinθ,∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ,∴x2+y2-x+3y=0.由x2+y2=1,x2+y2-x+3y=0,得A(1,0),B-12,-32,∴AB=1+122+0+322=3.【点评】极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用:(1)原点和极点重合;(2)x轴正半轴与极轴重合;(3)两坐标系中长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中,更要注意等价性,特别是两边同乘ρn时,方程增加了一个n重解ρ=0,要判断它是否是方程的解,若不是要去掉该解.►探究点3极坐标方程的求解例3在△ABC中,底边BC=10,∠A=12∠B,以B点为极点,BC为极轴,顶点A的轨迹的极坐标方程为________.图72-1【解析】设顶点A的极坐标为(ρ,θ),则∠B=θ,AB=ρ.∵∠A=12∠B,∴∠A=θ2,∠ACB=π-3θ2.在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsinA,即ρsinπ-3θ2=10sinθ2,【答案】ρ=10+20cosθ∴ρ=10sin3θ2sinθ2=103-4sin2θ2=10+20cosθ,故顶点A的轨迹的极坐标方程为ρ=10+20cosθ.【点评】求曲线的极坐标方程,关键就是找出曲线上的点满足的几何条件,将它们用极坐标表示,通过解三角形得到.当然,直角坐标系中轨迹方程的求解方法,对极坐标方程的求解也适用,如直译法、定义法、动点转移法等.变式题[2009·连云港模拟]已知圆C的参数方程为x=3+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),若P是圆C与y轴正半轴的交点,以圆心C为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P的圆C的切线的极坐标方程.【思路】先把圆C的参数方程化为直角坐标方程,然后在所建的极坐标系中构造三角形.【解答】由题设知,圆C的直角坐标方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心C(3,0),P(0,1),∴∠PCO=π6,且PC=2.设M(ρ,θ)是过P点的圆C的切线上的任一点,则在Rt△PMC中,MC=ρ,∠MCx=θ,∴∠MCP=π-π6-θ=5π6-θ.在△MCP中,有ρcosθ-5π6=2,即为所求切线的极坐标方程.图72-2【点评】本题中极坐标极点与直角坐标系的原点不重合,不能用极坐标与直角坐标的互化公式求解,这是同学解题时易犯的错误,►探究点4简单的极坐标方程的应用例4[2008·广东卷]已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθρ≥0,0≤θπ2,则曲线C1与C2交点的极坐标为________.【思路】有两种解题思路,一是在极坐标系下联立方程组求解,另一种方法是化为直角坐标方程求解.【解析】方法1:解方程组ρcosθ=3,ρ=4cosθρ≥0,0≤θπ2得ρ=23,θ=π6,即两曲线的交点为23,π6.方法2:曲线C1的极坐标方程ρcosθ=3化为直角坐标方程x=3,曲线C2的极坐标方程ρ=4cosθρ≥0,0≤θπ2化【答案】23,π6为直角坐标方程(x-2)2+y2=4(y≥0),则两曲线直角坐标方程的交点为(3,3),再化为极坐标即为23,π6,故两曲线的交点为23,π6.【点评】本题有两种解法,一种是在极坐标系下,结合图形求解;另一种是先化成直角坐标,然后在直角坐标系下求解.由极坐标方程解决的问题,若不好处理,就直角坐标化;由直角坐标给出的问题,若用极坐标方法处理较为简便,就极坐标化.变式题在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设椭圆的长轴长为10,中心为(3,0),一个焦点在直角坐标原点.(1)求椭圆的直角坐标方程,并化为极坐标方程;(2)当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为64091时,求弦所在的直角坐标方程.【思路】(1)利用直角坐标与极坐标的互化公式;(2)设极坐标求解.【解答】(1)由已知,得到a=5,c=3,故b=a2-c2=4,所以椭圆的直角坐标方程为(x-3)225+y216=1.由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入上式得到(ρcosθ-3)225+(ρsinθ)216=1,即25ρ2=(16+3ρcosθ)2,即5ρ=16+3ρcosθ,所以椭圆的极坐标方程为ρ=165-3cosθ.(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ,弦的两端点分别为P1(ρ1,θ),P2(ρ2,θ+π),则有ρ1=165-3cosθ,ρ2=165+3cosθ,由于ρ1+ρ2=64091,所以165-3cosθ+165+3cosθ=64091,解得cosθ=±12,∴θ=π3或θ=2π3.所以所求直线的直角坐标方程为y=3x,或y=-3x.【点评】本题在处理过椭圆中心的弦长时,用极坐标方法比直角坐标方法要简便的多.►探究点5柱坐标和球坐标的应用例5已知空间点A的球坐标为2,π4,5π4,则点A的空间直角坐标为________.【答案】(-1,-1,2)规律总结1.极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用:(1)原点和极点重合;(2)x轴正半轴与极轴重合;(3)两坐标系中长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中,更要注意等价性.2.由曲线的极坐标方程判断曲线的类型,通常是将极坐标方程化为直角坐标方程再去判断.而求曲线的极坐标方程的常用方法是直接法、转化法和待定系数法.知识梳理1.参
本文标题:高中数学:坐标系与参数方程
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