北师大版九年级数学一元二次方程的解法

学生学校年级教师授课日期授课时段课题重点难点重点：认识一元二次方程会利用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程难点：解含有字母系数的方程，灵活应用合适的方法解一元二次方程教学步骤及教学内容【一元二次方程的认识】1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数x，并且可以化为ax2＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式的整式方程是一元二次方程【例】试判断：关于x的方程（2a—4）x2－2bx＋a=0，（1）何时为一元二次方程？（2）何时为一元一次方程？【练习】m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：把ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数．【例】把下列方程变为一般形式(1)(8-2x)(5-2x)=18(2)(x+6)2+72=102【一元二次方程的解法】一、开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如nx2的方程的解法：当0n时，nx;当0n时，021xx;当0n时，方程无实数根。（1）012552x（2）289)3(1692x（3）03612y（4）0)31(2m（5）85)13(22x二、配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式；④求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。【例】xx4232【练习】1．用适当的数填空：①、x2+6x+=（x+）2；②、x2－5x+=（x－）2；③、x2+x+=（x+）2；④、x2－9x+=（x－）22．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．±3D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-17．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数8.解方程（1）0522xx（2）0152yy（3）3422yy9.（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。三、公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221；当042acb时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定cba,,的值；③代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【例】3)12)(2(2xxx【练习】（1）2632xx；（2）pp3232（3）yy1172；（4）2592nn四、因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab，则00ba或；②因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。【例】（1）0)3()3(42xxx（2）22)1(4)2(9xx（3）01072xx（4）02)12(3)12(2yy【练习】（1）09412x（2）04542yy（3）031082xx（4）02172xx（5）6223362xxx（6）1)5(2)5(2xx（7）08)3(2)3(222xxx五、选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。【例】（1）128)72(22x（2）222)2(212mmmm【练习】（1）)3)(2()2(6xxxx（2）3)13(2)23(332yyyyy（3）22)3(144)52(81xx六、解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。（1）02222nmmxx（2）124322aaxax（3）nmnxxnm2)(2（0nm）（4）xaxaxxa)1()1()1(2222