§13.2-一致收敛函数列与函数项级数的性质--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大

一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.§13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质数学分析第十三章函数列与函数项级数数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性一致收敛函数列的性质后退前进目录退出可积性可微性定理13.8（极限交换定理）{}nf设函数列在上一致收敛于,00(,)(,)axxb()fx且对每个n,0lim()nnxxfxa，limnna则和0lim()xxfx均存在且相等.00limlim()limlim().(2)nnxxnnxxfxfx即{}na证先证是收敛数列.故存在正整数N,当nN及对任意正整数p,对一切00(,)(,)xaxxb，有|()()|.nnpfxfx0，{}nf由于一致收敛,对任意数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社lim,nnaA设{}na于是由柯西准则可知是收敛数列,则0limlim().nnxxfxA下面证明00lim()limlim().nxxxxnfxfxA注意到|()|fxA111|()()||()|NNNfxfxfxa§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性从而0||lim|()()|.nnpnnpxxaafxfx1||NaA()nfx()fx，由于一致收敛于na收敛于A，nN当时，存在正数N，对任意00(,)(,)xaxxb因此对任意0，|()()|||33nnfxfxaA和同时成立.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性11|()()|||33NNfxfxaA和011lim(),NNxxfxa又因为0，故存在当00||xx时,特别当n=N+1时，0,0,xxx于是当满足时|()|fxA,333这就证明了0lim().xxfxA有11|()|.3NNfxa也有1|()()|Nfxfx11+|()|NNfxa1+||NaA数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理指出:在一致收敛的条件下,{()}nfx中关于独立变量x与n的极限可以交换次序,即(2)式成立.,()(,)nfxab类似地若在lim()nxafx上一致收敛,且存在,limlim()limlim();nnnnxaxafxfx()(,)lim(),nnxbfxabfx若在上一致收敛,且存在limlim()limlim().nnnnxbxbfxfx§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性则有则有数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社推论定理13.9（连续性）若函数列{}nf在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续.证0.xI设为上任一点于是由定理13.8知0lim()xxfx也存在,且000lim()lim()(),nxxnfxfxfx0().fxx因此在上连续nfIf若连续函数列在区间上内闭一致收敛于，fI则在上连续.§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性00lim()(),nnxxfxfx由于数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社{}nx(1,1]例如函数列的各项在上都是连续的,其极限函数0,11,()1,1xfxx1x在时不连续，{}nx(1,1]所以在上不一致收敛.注定理13.9可以逆过来用:§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性但列在区间I上其极限函数不连续,若各项为连续函数的函数I上一定不一致收敛.则此函数列在区间定理13.10（可积性）{}nf若函数列在[a,b]上一致收敛,且每一项都连续,则lim()dlim()d.(3)bbnnaannfxxfxx数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社{}nf证设f为函数列在[a,b]上的极限函数，(1,2,)nfn从而与f在[a,b]上上都可积.[,],nabff因为在上一致收敛于,[,],nNxab当时对一切都有§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性lim()d()d.(3)bbnaanfxxfxx于是(3)变为0，故对于任意存在N,知f在[a,b]上连续,由定理13.9|()()|.nfxfx再根据定积分的性质,当nN时有()()d(()())dbbbnnaaafxfxxfxfxx()()d(),bnafxfxxba这就证明了等式(3).数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社12,0,211()22,,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn{()}nfx[0,1]显然是上的连续函数列,[0,1]xlim()0.nnfx,例1设函数136图1nf12n1nnxyO§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性且对任意数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社[0,1]sup|()0|,nnxfx又{()}[0,1]nfx在因此上一致收敛于0的充要条件是.0()nn10()d,2nnfxxn因为1100()d()d0nfxxfxx故lim02nnn的充要条件是.1,n这样,当时虽然{()}nfx()fx不一致收敛于,但定理13.10的结论仍{()}nfx().fx不一致收敛于但当时,=nn101()d2nfxx同时10()d0.fxx也不收敛于{()}nfx例1说明当收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件,§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性成立.不是必要条件.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理13.11（可微分性）{}nf设为定义在[a,b]上的函数列,§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性的收敛点，0[,]xab若为{}nfddlim()lim().(4)ddnnnnfxfxxx则{}[,]nfab的每一项在上有连续的导数{}nf，且在[a,b]上一致收敛,{}nf0lim(),nnfxA设[,]gfab为在上的极限函数，00()()()d.xnnnxfxfxftt由定理条件,对任一[,]xab，证总有,,nA当时右边第一项第二项0()d.xxgtt数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社,于是f所以上式左边极限存在,记为0()lim()()d.xnxnfxfxAgtt由g的连续性及微积分学基本定理得.fg这就证明了等式(4).§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性推论设函数列定义在区间上，若为的收敛点且在上内闭一致收敛，()lim().nnfxfx则在上可导，且数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性0x{}nf注请注意定理中的条件为的收敛点的作用.[,]ab{}nf在定理的条件下,还可推出在上函数列一致收敛于f,请读者自己证明.与前面两个定理一样,运算交换的充分条件,而不是必要条件,请看例2.一致收敛是极限运算与求导推论设函数列定义在区间上，若为的收敛点且在上内闭一致收敛，()lim()nnfxfx则在上可导，且数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社函数列221()ln(1),1,2,2nfxnxnn与22(),1,2,1nnxfxnnx在[0,1]上都收敛于0,[0,1]1limmax|()()|,2nnxfxfx{()}[0,1],nfx所以导函数列在上不一致收敛lim()0[lim()].nnnnfxfx§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性例2由于但有数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社在上述三个定理中,我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子.(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件,但在目前情况下,只有满足一致收敛的条件,才能保证定理结论的成立.下面讨论定义在区间[,]ab上函数项级数12()()()(5)nuxuxux的连续性、逐项求积与逐项求导的性质,可根据函数列的相应性质推出.§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性在今后的进一步学习中这些性质数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理13.12（极限交换定理、连续性定理）()nux0()Ux1.若函数项级数在一致收敛,0lim()nnxxuxa，每个n,00lim()lim().nnnxxxxuxuxa(6)()nux[,]ab2.若区间上一致收敛,续,§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导则有且对且每一项都连[,]ab上也连续.则其和函数在数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理13.14（逐项求导定理）定理13.13（逐项积分定理）()d()d.(7)bbnnaauxxuxx[,]ab在上一致收敛，0[,]xab为()nux的收敛点,dd()().(8)ddnnuxuxxx且每一若函数项级数()nux在[a,b]上一致收敛,§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导若函数项级数()nux在[a,b]上每一项都有连续的则()nux都连续,项则导函数，且()nux数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理13.13和13.14指出,在一致收敛条件下,逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导.注本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式(2)~(4),(6)~(8),根据定理的条件,即使没有求出极限函数或和函数,也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质.§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导更重要的是数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例3设2231()ln(1),1,2,.nuxnxnn()nux[0,1]证明函数项级数在上一致收敛,并讨论和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性.()nux证对每一个n,易见为[0,1]上的增函数,231()(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又当时有不等式§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导231()ln(1)nuxnn故有所以3211,1,2,.nnnn21()nuxn收敛级数是的优级数,因此级数()nux[0,1]在上一致收敛.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社()nux[0,1]由于每一个在上连续,定理13.13知()nux()Sx[0,1]的和函数在上连续且可积.§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导222221(),1,2,,(1)2nxxuxnnnxnnxn21()nuxn即也是的优级数,()nux[0,1]故在由定理13.14,得知()Sx在[0,1]上可微.又由上一致收敛.根据定理13.12与数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社*例4确定函数项级数1