§15.1--傅里叶级数

一、三角级数·正交函数系三、收敛定理一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.§15.1傅里叶级数数学分析第十五章傅里叶级数*点击以上标题可直接前往对应内容二、以为周期的函数的傅里叶级数2数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.sin()(1)yAx来描述.其中A为振幅.为初相角,为角频率,于是简谐振动y的周期是2π.T常常是几个简谐振动§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理三角级数·正交函数系最简单的周期运动,可用正弦函数由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,较为复杂的周期运动,则后退前进目录退出数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社sin(),1,2,,kkkyAkxknky2π,1,2,,,TTknk由于简谐振动的周期为所以函数(2)周期为T.就得到函数项级数01sin().(3)nnnAAnx11sin().(2)nnkkkkkyyAkx的叠加：若(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运动现象.§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理对无穷多个简谐振动进行叠加数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社11对于级数(3),只须讨论(如果可用x代换x)的情形.sin()sincoscossin,nnnnxnxnx所以01sin()nnnAAnx01(sincoscossin).(3)nnnnnAAnxAnx00,2aA记§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理由于sin,nnnAacos,1,2,,nnnAbn数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社01(cossin).(4)2nnnaanxbnx它是由三角函数列(也称为三角函数系)1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(5)xxxxnxnx所产生的一般形式的三角级数.容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以为周期的函数.2π关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:则级数()就可写成3§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社定理15.1若级数收敛,01||(||||)2nnnaab则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证对任何实数x,|cossin|nnanxbnx根据优级数判别法,就得到本定理的结论.为进一步研究三角级数(4)的收敛性,数系(5)的特性.§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理由于||||,nnab先讨论三角函数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社其次,在三角函数系(5)中,任何两个不相同的函数的ππππcosdsind0,(6)nxxnxxππππππcoscosd0(),sinsind0(),(7)cossind0.mxnxxmnmxnxxmnmxnxx乘积在上的积分等于零,[,]易见三角级数系(5)中所有函数有共同的周期2,§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理即数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社等于零,ππ22πππ2πcosdsindπ,(8)1d2π.nxxxxx[,]ab若两个函数与在上可积,且()()d0,baxxx[,]ab则称与在上是正交的,由此三角函数系(5)在[π,π]上具有正交性.或者说(5)是正交函数系.而(5)中任何一个函数的平方在[-π,π]上的积分都不§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理交性.即[,]ab上具有正或在数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社定理15.2现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f与级数(4)的系数0,,nnaab之间的关系.若在整个数轴上01()(cossin)(9)2nnnafxanxbnx且等式右边级数一致收敛,ππ1()cosd,0,1,2,,(10)πnafxnxxnaππ1()sind,1,2,,(10)πnbfxnxxnb以2π为周期的函数的傅里叶级数§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理则有如下关系式:数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社证由定理条件,函数f在[,]上连续且可积.对(9)式逐项积分得ππ()dfxxπππ0πππ1d(cosdsind).2nnnaxanxxbnxx由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.所以π00π()d2ππ,2afxxa§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理即01()(cossin)(9)2nnnafxanxbnxπ0π1()d.πafxx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社又以coskx乘(9)式两边(k为正整数),得0()coscos2afxkxkx1(coscossincos).(11)nnnanxkxbnxkx从第十三章§1习题4知道,由级数(9)一致收敛,得级数(11)也一致收敛.§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理可于是对级数(11)逐项求积,ππ()cosdfxkxx有01()(cossin)(9)2nnnafxanxbnxππsincosd).nbnxkxxππ0ππ1cosd(coscosd2nnakxxanxkxx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社由三角函数的正交性,右边除了以ka为系数的那一项积分π2πcosdπkxx于是得出:ππ()cosdπ(1,2,).kfxkxxak§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理外,其他各项积分都等于0,即ππ1()cosd(1,2,).πkafxkxxkππ0ππ1cosd(coscosd2nnakxxanxkxxππsincosd)nbnxkxx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社同理,(9)式两边乘以sinkx,并逐项积分,ππ1()sind(1,2,).πkbfxkxxk2π[,]由此可知,若f是以为周期且在上可积的函数,它们称为函数f(关于三角函数系(5))的傅里叶系数.§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理可得nanb，和则可按公式(10)计算出ππ1()cosd,0,1,2,,(10)πnafxnxxnaππ1()sind,1,2,,(10)πnbfxnxxnb数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数,01()~(cossin).(12)2nnnafxanxbnx这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数,f的傅里叶级数,个数轴上一致收敛于和函数f,则此三角级数就是等号.§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理记作由定理15.2知道:若(9)式右边的三角级数在整即此时(12)式中的记号“~”可换为数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社如果收敛,是否收敛于f本身.f出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数(12),然而,若从以为周期且在[π,π]上可积的函数2π§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理这时还需讨论此级数是否收敛.这就是下一段所要叙述的内容.数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社定理15.3（傅里叶级数收敛定理）[π,π],x则在每一点f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,01(0)(0)(cossin),22nnnafxfxanxbnx,nnab其中为f的傅里叶系数.定理的证明将在§3中进行.收敛定理§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理若以为周期的函数f在上按段光滑,2π[π,π]即数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社注尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,函数的要求却比幂级数要低得多,所以应用更广.而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.概念解释1.若f的导函数在[,]ab上连续,则称f在[a,b]上光滑.2.如果定义在[,]ab上函数f至多有有限个第一类间断点,在且连续,极限存在,§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理但它对其导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存f的左、右并且在这有限个点上导函数[,]ab上按段光滑.则称f在数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社在[a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质:(i)f在[,]ab上可积.[,]ab(0)fx(ii)在上每一点都存在,如果在不连()(0)fxfx()(0)fxfx续点补充定义,或,则还有00()(0)lim(0),(13)()(0)lim(0),ttfxtfxfxtfxtfxfxt§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社f[,]ab(iii)在补充定义在上那些至多有限个不存在ff导数的点上的值后(仍记为),在[a,b]上可积.从几何图形上讲,在区间[a,b]上按段光滑光滑函数,多有有限个第一类间断点(图15-1).光滑弧段所组成,151图Ox()yfx1x2x3x4xbay§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理是由有限个它至数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社推论收敛定理指出,f的傅里叶级数在点x处收敛于在f该点的左、右极限的算术平均值(0)(0);2fxfx而当f在点x连续时,(0)(0)(),2fxfxfx即此时f的傅里叶级数收敛于()fx.段光滑,若f是以为周期的连续函数,且在上按[π,π]2π§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理这样便有则有(,)上收敛于f.则f的傅里叶级数在数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社所以系数公式(10)中的积分区间[π,π]可以改为长2π2π1()cosd0,1,2,,π(10)1()sind1,2,,πcnccncafxnxxnbfxnxxn其中c为任何实数.注1根据收敛定理的假设,f是以为周期的函数,2πnanb度为的任何区间,而不影响,的值:2π§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社表达式,(),(π,π],ˆ()(2π),((21)π,(21)π],1,2,.fxxfxfxkxkkk§1傅里叶级数三角级数·正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理解为它是定义在整个数轴上以2π为周期的函数,但我们认为它是周期函数.注2在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常只(π,π][π,π)给出函数在(或)上的解析式,(π,π]上的解析如f为但应理即函数本身不一定是定义在整个数轴上的周期函数,那么周期延拓后的函数为