2.2.1等差数列

2.2.1等差数列第二章数列第一课时数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,…an,…如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。复习.,12S2nnann求已知：观察与思考：下面的几个数列相邻两项有什么共同点：(2)4，5，6，7，8，9，10.(3)2，0，-2，-4，-6，…(1)5，5，5，5，5，5，…公差d=1公差d=-2公差d=0aaaaaaaaaannnn11342312...=d1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数⑵由定义得等差数列的递推公式：1(nnaadd是常数）说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.每一项与其前一项的差探究判断下列数列是否是等差数列?如果是等差数列，说出公差是多少?（1）1，2，4，6，8（2）2，4，6，8（6）-5，-4，-3（5）1，1/2，1/3，1/4（3）1，-1，1，-1练习1（不是）（是）（不是）（4）0,0,0,0,…2d1d0d（7）1,2,3,4,...（不是）（8）1，2，4，7，11（不是）（不是）（是）（是）2、等差数列的通项公式1{}.nnaada思考：已知等差数列的首项为，公差为，求根据等差数列的定义得到21aad，21aad所以32aad，43aad，3211()2aadaddad4311(2)3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n11na当时，上面等式两边均为，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为方法一：不完全归纳法2、等差数列的通项公式n1n{}.aaa思考：已知等差数列的首项为，公差为d，求21aad，32aad，43aad，1nnaad}1n个1(1)naand将所有等式相加得方法二累加法例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论12310.nadna在等差数列中，⑴若，，，则13212.naadn⑵若，，，则161227.aad⑶若，，则7118.3daa⑷若，，则2910310跟踪训练3．等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.由等差中项的定义可知，a,A,b满足关系：222或abbAAaAbAa(aAb)意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当a=b时，A=a=b.例3（1）在等差数列{an}中，是否有（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有那么数列{an}一定是等差数列吗？11(2)?2nnnaaan112nnnaaan{}nmaaa思考：在等差数列中，项与有何关系？4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得1(1)naand①1(1)maamd②().nmaanmd①-②得().nmaanmd.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得：a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1∴这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=12–3n.解法二：1.求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；2.100是不是等差数列2，9，16，…中的项？3.-20是不是等差数列0，-，-7…中的项；,154a,277a3910adnaan)1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn练一练72练一练4.在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求与11,3ad3912(2)9,3aaa已知，求111,1ad120a2.2.1等差数列第二章数列第二课时2、等差数列的通项公式1(1).naand1、等差数列的定义1(nnaadd是常数）.3、等差数列的中项2abA复习通项公式的证明及推广m(nm).naad3131与100与180例5已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.()()12()()48adaadadaad解：设三个数为a-d，a，a+d，则解之得42ad故所求三数依次为2，4，6或6，4，2习：三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；解：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.(napnqpq已知数列的通项公式是其中，是常数），那么这个数列是否一定是等思考：差数列？11{}2)()[(1)]().{}nnnnnnaaanaapnqpnqpnqpnpqpna取数列中的任意相邻两项与（，这是一个与无关的常数，所以是等差数列.5、等差数列的通项及图象特征napnq等差数列的通项公式可反之：以表示为吗？解析:111(1)(),,.nnaanddnadpdqadapnq设，则思考n等差数列的通项公式是关于的形式，反之一次亦成立。结论:一条其直图象线为落在上的点。首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：5、等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有n{a}性质1：若成等差数列，则成等差数列.*m,p,n(m,p,nN)mpna,a,a证明：根据等差数列的定义，m,p,n,成等差数列pmnp,(pm)d(np)d.pmnpaaaa.即成等差数列.mpna,a,a如成等差数列，成等差数列.1611a,a,a369a,a,a推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）性质2：设若则*m,n,p,qNmnpqaaaa.mnpq,性质3：设c,b为常数，若数列为等差数列，则数列及为等差数列.{}na{}nab{}ncab性质4：设p,q为常数，若数列、均为等差数列，则数列为等差数列.{}na{}nnpaqbn{b}111111(1)(1)2()2,(1)(1)2()2,.mnpqmnpqaaamdandanmddaaapdaqdapqddaaaa证明：例6（1）已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值1523021539aaa∵7+11=3+15（2)∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5（1）等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12=（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=215（3）已知等差数列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，则a8=－19跟踪训练4.(1)在等差数列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式．【解析】(1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5，∴a2＋a6＝10且a2a6＝9.∴a2、a6是方程x2－10x＋9＝0的两根，∴a2＝1，a6＝9，或a2＝9，a6＝1.若a2＝1且a6＝9，则d＝2，∴an＝2n－3.同理可得an＝13－2n.故an＝2n－3或an＝13－2n.(2)方法一：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.方法二：因为an为等差数列，设首项为a1，公差为d.∴a3＋a4…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.(2)设为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.5.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．