2014高考调研理科数学课本讲解_6-3_1 数列的通项_专题研究

课时作业新课标版·数学（理）高考调研专题研究一数列的通项课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，求通项公式an.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】原递推式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋1n－1－1n.逐项相加得：an＝a1＋1－1n.故an＝4－1n.探究1利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方法称为累加法．累加法是求型如an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公式的基本方法，其中f(n)可求前n项和．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.【解析】∵an＋1＝an＋n＋1，∴a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n，以上n－1个式子相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12＋1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.【解析】原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＋1＋an0，∴an＋1an＝nn＋1.则a2a1＝12，a3a2＝23，a4a3＝34，…，anan－1＝n－1n，逐项相乘得ana1＝1n，即an＝1n.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2…anan－1(an≠0)求通项公式的方法称为累乘法．累乘法是求型如an＋1＝g(n)an的递推数列通项公式的基本方法，其中g(n)可求前n项积．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2若a1＝1，an＋1an＝n＋1，则通项an＝________.【解析】累乘法，迭代法∵an＋1an＝n＋1，∴an＝nan－1＝n(n－1)an－2＝…＝n(n－1)…2a1＝n！.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3已知数列{an}，其中a1＝43，a2＝139，且当n≥3时，an－an－1＝13(an－1－an－2)，求通项公式an.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为bn－1＝13bn－2，{bn}是一个等比数列．b1＝a2－a1＝139－43＝19，公比为13，故bn－1＝b1·(13)n－2＝19(13)n－2＝(13)n.故an－an－1＝(13)n.由逐差法可得：an＝32－12(13)n.探究3通过换元构造等差或等比数列从而求得通项．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题3(1)已知数列{an}中，其中a1＝1，且当n≥2时，an＝an－12an－1＋1，求通项公式an.【解析】将an＝an－12an－1＋1两边取倒数，得1an－1an－1＝2，这说明{1an}是一个等差数列，首项是1a1＝1，公差为2，所以1an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝12n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a2n(n是正整数)，则它的通项公式是an＝________.【解析】由题意知an0，将an＋1＝a2n两边取对数，得lgan＋1＝2lgan，即lgan＋1lgan＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，公比为2的等比数列．lgan＝lga1·2n－1＝2n－1·lg3，即an＝32n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例4(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.【解析】原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即是：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)在数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当n∈N，an＋2＝5an＋1－6an，求通项公式an.【解析】an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有：an＝4·3n－1－5·2n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究4当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法\”，先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学归纳法证明．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题4(1)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式an＝()A．2n－1B．(n＋1n)n－1C．n2D．n课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】由已知得(n＋1)an＝nan＋1.an＋1an＝n＋1n，anan－1＝nn－1，ana1＝n.【答案】D课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)(2010·新课标全国)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】累加法：由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)已知数列{an}满足a1＝12，31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，anan＋10，求数列{an}的通项公式．【解析】∵31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，∴3a2n＋1＝2a2n＋1.即a2n＋1＝23a2n＋13.∴a2n＋1－1＝23(a2n－1)．令bn＝a2n－1－1，∴bn＋1＝23bn.又b1＝a21－1＝－34，课时作业新课标版·数学（理）高考调研∴数列{bn}是首项为－34，公比为23的等比数列．∴bn＝－34·(23)n－1.∴a2n－1＝－34·(23)n－1.∴a2n＝1－34·(23)n－1.又a1＝120，an·an＋10，∴an＝(－1)n－11－34·23n－1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例5(1)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n，n≥1.求数列{an}的通项公式．【解析】由a1＝S1＝2a1－1⇒a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)＋2×(－1)n.∴an＝2an－1＋2×(－1)n－1，an－1＝2an－2＋2×(－1)n－2，…，a2＝2a1－2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研∴an＝2n－1a1＋2n－1×(－1)＋2n－2×(－1)2＋…＋2×(－1)n－1＝2n－1＋(－1)n[(－2)n－1＋(－2)n－2＋…＋(－2)]＝2n－1－(－1)n2[1－－2n－1]3＝23[2n－2＋(－1)n－1]．经验证a1＝1也满足上式，所以an＝23[2n－2＋(－1)n－1]．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)若an0，an＋22＝2Sn，则通项an＝________.【解析】公式法由an＋22＝2Sn，得Sn＝an＋228.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋228－an－1＋228.∴8an＝(an＋an－1＋4)(an－an－1)．∴(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.∵an0，∴an＋an－10.课时作业新课标版·数学（理）高考调研∴an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.∴数列{an}为等差数列，且公差d＝4.又a1＝S1＝a1＋228，∴a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究5已知Sn与an的关系求通项：(1)已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，要注意运用an和Sn的关系，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)对于形如Sn＝f(an)求an常有两种处理方法：①由Sn＝f(an)，得Sn－1＝f(an－1)两式做差，得an＝f(an)－f(an－1)(n≥2)．②将an换成Sn－Sn－1，即Sn＝f(Sn－Sn－1)，先求出Sn，再求出an.课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题5(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)由题意有S1＝T1＝2S1－1.故a1＝2a1－1.于是a1＝1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)由Tn＝2Sn－n2，得Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，n≥2.从而Sn＝Tn－Tn－1＝2an－(2n－1)，n≥2.由于a1＝S1＝1，故对一切正整数n都有Sn＝2an－(2n－1)，①因此Sn－1＝2an－1－(2n－3)，n≥2.②课时作业新课标版·数学（理）高考调研①－②，得an＝2(an－an－1)－2，n≥2.于是an＝2an－1＋2.故an＋2＝2(an－1＋2)，n≥2.∵a1＋2＝3，∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴an＝3·2n－1－2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研课时作业（三十七）