立体几何共线、共点、共面问题(学生版)

领航培优补习班（立体几何初步—第四节空间图形的基本关系与公理）1领航立体几何中的共点、共线、共面及异面直线夹角问题一、共线问题1、若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).2、点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.3、如图1，正方体1111ABCDABCD中，1AC与截面1DBC交O点，ACBD，交M点，求证：1COM，，三点共线．领航培优补习班（立体几何初步—第四节空间图形的基本关系与公理）2二、共面问题1、如图3，设PQRSMN，，，，，分别为正方体1111ABCDABCD的棱111111ABBCCCCDADAA，，，，，的中点，求证：PQRSMN，，，，，共面．2、直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.3、已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.领航培优补习班（立体几何初步—第四节空间图形的基本关系与公理）34、在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足MBAM＝NBCN＝QDAQ＝PDCP＝k.(1)求证：M、N、P、Q共面.(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共点问题1、如图2，已知空间四边形ABCDEF，，分别是ABAD，的中点，GH，分别是BCCD，上的点，且2BGDHGCHC，求证：EGFHAC，，相交于同一点P．2、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．领航培优补习班（立体几何初步—第四节空间图形的基本关系与公理）4ABCDA1B1C1D1EF四、异面直线夹角问题1、S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．2、正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．3、如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．4、如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．求AE与FD1所成的角。BMANCSACBNMA1C1B1领航培优补习班（立体几何初步—第四节空间图形的基本关系与公理）55、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．515arccosB．4C．510arccosD．26、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．7、如图，PA平面ABC，90ACB且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．8、空间四边形ABCD中，2ADBC，,EF分别是,ABCD的中点，3EF，求异面直线,ADBC所成的角。ABCDEMN图1ABCDEMNG图21A1B1C1DABCDEFGPBCAABCDEFG领航培优补习班（立体几何初步—第四节空间图形的基本关系与公理）69、正四面体P－ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()图K42－3A.32B.34C.36D.3310、已知：如图K42－7，空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，F、G分别是边BC、CD上的点，且AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ(0λ、μ1)，试判断FE、GH与AC的位置关系．图K42－7