不定积分的例题分析及解法

1不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(xu，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将ud转化成du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(xf为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(xf为无理函数时，常可用换元积分法。应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dxxxsin；dxex2；dxxln1；xkdx22sin1（其中10k）等。这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数)(xf，若存在函数)(xF，使得该区间上每一点x处都有)()(xfxF，则称)(xF是)(xf在该区间上的原函数，而表达式CCxF()(为任意常数)称为)(xf的不定积分。（2）)(xf的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(xf的不定积分dxxf)(时，只需求出)(xf的一个原函数)(xF，再加上一个任意常数C即可，即CxFdxxf)()(。（3）原函数)(xF与不定积分dxxf)(是个体与全体的关系，)(xF只是)(xf的某个原函数，而dxxf)(是)(xf的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C后，即CxF)(才能成为)(xf的不定积分，例如3,21,1222xxx都是x2的原函数，但都不是x2的不定积分，只有Cx2才是x2的不定积分（其中C是任意常数）。（4）)(xf的不定积分dxxf)(中隐含着积分常数C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C。2（5）原函数存在的条件：如果函数)(xf是某区间上连续，则在此区间上)(xf的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分dxexdxdxxxx2,ln,sin都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。（二）换元积分法的几点说明换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。（1）第一换元积分法（凑微分法）：令)(xuu若已知CxFdxxf)()(，则有CxFdxxxf)()()(其中)(x是可微函数，C是任意常数。应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。（1）abaxdabxddx)((1)(、)0，ab为常数具体应用为)()(1)(baxdbaxadxbaxmm=CbaxaCmbaxamln11)(11)1()1(mm（2）)(111bxdadxxaa)()1(11baxdaaaa(、b、a均为常数，且)1,0aa。例如：xddxxxxddxxdxxdx21),(32,212（3）)ln(1ln1bxadaxddxxba,(为常数，)0a（4）,0(ln)(,aaaddxadedxexxxx且)1a；3（5）);(sincos),(cossinxdxdxxdxdx（6）)cot(csc),(tansec22xdxdxxdxdx（7）)(arctan112xddxx（8）)(arcsin112xddxx在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求dxxxf211)(arctan时，应将dxxdx21凑成xdarctan；求dxxxarcf211)cot(时，应将dxx211凑成xdarccot；而求dxxx212时，211x就不能照搬上述两种凑法，应将xdx2凑成2dx，即)1(222xddxxdx。（2）第二换元法积分法：令)(tx，常用于被积函数含22xa或22ax等形式。常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示：表5-1代换名称被积函数含有换元式三角代换22xa22xa22ax)2,2(,sinttax)2,2(,tanttax)2,0(,secttax无理代换nbaxnx12111)(,)(nnbaxbax,tbaxn即)(1btaxn,1tx即tx1),(baxtnn为21,nn的最小公倍数（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。（三）关于积分形式不变性在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：4如果CxFdxxf)()(，那么有CuFduuf)()(，其中)(xu是x的可微函数。这个定理说明：（1）积分变量x无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。（2）根据这个定理，基本积分表中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式Cxdxxln1现在就可以看作是Cdln1其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数dxxf)(能够写成dxxxg)()(的形式，且已知CuFduug)()(，则有dxxxgdxxf)()()()()(xdxgCxF)(同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致．．的，否则将出现错误。（四）分部积分法设)(),(xxuu是可微函数，且)()(xxu或)()(xxu有原函数，则有分部积分公式：dxxuxxxudxxxu)()()()()()(或duuud当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成dxu或ud的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式duu，或dxuu，再计算dxu，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u和的原则是：①根据容易求出；②dxu要比原积分dxu容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u和的选择规律，一归纳如表5-2。表5-25分类不定积分类型u和的选择Ixdxxpnsin)(xdxxpncos)(dxexpxn)(xxpunsin),(xxpuncos),(xnexpu),(IIxdxxpnln)(xdxxpnarcsin)(xdxxpnarccos)(xdxxpnarctan)()(,lnxpxun)(,arcsinxpxun)(,arccosxpxun)(,arctanxpxunIIIxdxexsinxdxexcosxexu,sin或xeuxsin,xexu,cos或xeuxcos,说明（1）表5-2中，)(xpx表示n次多项式。（2）表5-2中的xexxxarcsin,,cos,sin等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型，例xsin，表示对所有正弦函数)sin(bax均适用，而xe表示对所有baxe均适用，其它几个函数也如此。（3）III类积分中，也可选择xeuxsin,（或xcos），无论怎么样选择，都得到递推循环形式，再通过移项、整理才能得到积分结果。（五）有理函数的积分有理函数可分为如下三种类型：（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。（2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和：kkqpxxBAxqpxxBAxaxAaxA)(,,)(,22其中kqp,,为常数，1,042kqp。因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。（3）有理假分式（分子次数不低于分母次数）；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的，6后者可通过凑微分法求出的结果。二、例题分析例1为下列各题选择正确答案：（1）（）是函数xxf21)(的原函数A．xxF2ln)(B．221)(xxFC．)2ln()(xxFD．xxF3ln21)(（2）若)(xf满足Cxdxxf2sin)(，则)(xf（）A．x2sin4B．x2cos2C．x2sin4D．x2cos2（3）下列等式中（）是正确的A．)()(xfdxxfB．Cefdxefxx)()(C．Cxfdxxf)()(D．Cxfdxxfx)1(21)1(22（4）若CxFdxxf)()(，则dxxxf)(cossin（）A．CxF)(cosB．CxF)(cosC．Cxf)(sinD．CxF)(sin（5）下列函数中，（）不是x2sin的原函数。A．x2cos21B．x2cosC．x2sinD．x2cos解（1）根据原函数的概念，验证所给函数)(xF是否满足xxF21)(。由于A中xxxx21122)2(lnB中xxx2141)21(32C中xxx2121)2ln(D中xxx213321)3ln21(7故正确选项为D。（2）根据不定积分的性质可知xCxdxxxf2cos2)2(sin))(()(xxxf2sin4)2cos2()(于是故正确选择为C（3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知Cufduuf)()(其中u是变量或可微函数，据此可知：A中应为Cxfdxxf)()(（缺C）B中应为Cefdxeefxxx)()(（缺xe）C中应为Cxfdxxxf)(2)(（不应没有x2）D中应为)1()1(21)1(222xdxfdxxfxCxf)1(212正确选项应为D（4）设,cosxu则xdxdusin，于是CxFCuFduufdxxxf)(cos)()()(cossin正确选项应为D（5）根据原函数定义，对所给答案一一求导可知x2cos不是x2sin的原函数，故正确选项B。例2给出下列各题的正确答案：（1）xdx211；（2）)(lnlnxxd；（3）若)0()(xxxxf，则dxxf)(2；（4）通过点)4,1(斜率为211x的曲线方程为；解（1）设xu21，则dudx21，于是)21(1211duudxx8CxCu21ln21ln21应填Cx21ln21（2）设xuln，则CxCuuduxxd22ln2121)(lnln应填Cx2ln21（3）由于xxf211)(，故,211)(2xxf因此Cxxdxxdxxfln21)211()(2应填Cxxln21注意：C