多元函数微分法及其应用81534资料

第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA（或0lim(,)PPfxyA）的定义掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)Pxy沿ykx趋向00(,)Pxy，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim(,)xyxyfxy存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用定义证明2222(,)(0,0)1lim()sin0xyxyxy例2（03年期末考试三、1，5分）当0,0xy时，函数222222()xyxyxy的极限是否存在？证明你的结论。例3设222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　，讨论(,)(0,0)lim(,)xyfxy是否存在？例4（07年期末考试一、2，3分）设2222422,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　，讨论(,)(0,0)lim(,)xyfxy是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()limxyxyxy3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1．讨论函数33222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　在（0，0）处的连续性。例2．（06年期末考试十一，4分）试证2222422,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3．求(,)(1,2)limxyxyxy例4．(,)(0,0)11limxyxyxy4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数(,)zfxy关于,xy的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限00000(,)(,)limxfxxyfxyx存在，则有0000000000000(,)(,)(,)limxxxxxyyxxxxyyyyfxxyfxyzfzfxyxxx（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限00000(,)(,)limyfxyyfxyy存在，则有0000000000000(,)(,)(,)limxxyyyyyxxxxyyyyfxyyfxyzfzfxyyyy对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试一、3，4分）已知22222222(),0(,)0,0xyxyxyxyfxyxy　　　，则(0,)xfy例2（06年期末考试十一，4分）试证2222422,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3设222222221()sin,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　　，求(,),(,)xyfxyfxy。例4设yxz，求yxzz,。例5（03年期末考试，一、2，3分）设(1)arcsinxuxyy，则ux在(1,2)的值为（）。2、二元函数(,)zfxy关于,xy的高阶偏导数（二元以上类似定义）,22(,)xxzzfxyxxx2(,)xyzzfxyyxxy22(,)yyzzfxyyyy2(,)yxzzfxyxyyx定理：若两个混合二阶偏导数22,zzxyyx在区域D内连续，则有22zzxyyx。例1．设,1ru222)()()(czbyaxr，其中cba,,为常数，求：222222zuyuxu＋。例2．设xyarctgeyxz)(22，求yxz2。3、(,)zfxy在点(,)Pxy偏导数存在(,)zfxy在点(,)Pxy连续（07年，04年，02年等）4、偏导数的几何意义：00(,)xfxy表示曲线0(,)zfxyyy在点000(,,)Pxyz处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、(,)zfxy在点00(,)Pxy可微分的判定方法若000022(,)(0,0)(,)(,)lim0xyxyzfxyxfxyyxy，则可判定(,)zfxy在点00(,)Pxy可微分。其中00(,)(,)zfxxyyfxy例1．（08年期末考试十二、6分）证明函数222222221()sin,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　　　在（0，0）处可微，但偏导数(,)xfxy在（0，0）处不连续。例2（07年期末考试七、6分）222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy　，证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若(,)zfxy在00(,)Pxy可微，则有0000(,)(,)xydzfxydxfxydy其中0000(,),(,)xyfxyfxy的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1（08年期末考试，一，1，4分）设432zxyx，则(1,2)dz例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设arctan(0),yzxx求dz。例3（06年期末考试，二、2，3分）设2yux，则du例4（03年期末考试，二、2，3分）函数22ln()uxyz在点(1,0,1)处的全微分为例5．设wuyzarcsin，xeu，22yxxw，求函数：对变量yx,的全微分dz。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）一阶偏导数,xyff在00(,)Pxy连续(,)zfxy在00(,)Pxy可微(,)zfxy在00(,)Pxy连续(,)zfxy在00(,)Pxy有极限(,)zfxy在00(,)Pxy可微在00(,)Pxy的一阶偏导数,xyff存在(,)zfxy在00(,)Pxy可微在00(,)Pxy的方向导数,xyff存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则：变量树状图法则(1)(,),(),()zfuvutvtdzzduzdvdtudtvdtdzzduzdvzddtudtvdtdt(2)(,),(,),(,)zfuvuxyvxy,zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy(3)zfuxyuxy(,,),(,),zfufzfufxuxxyuyf例1．（08年期末考试，七，7分）设(,)xzfxy，f具有连续二阶偏导数，求2,zzxxy。例2．（08年期末考试，十一，6分）设(,)zzxy是由方程22()xyzxyz所确定的函数，其中()x可导，求dz。例3．（07年期末考试，八，7分）设(,)yzxfxyx，f具有连续二阶偏导数，求2,zzyyx。例4．（06年期末考试，一、1，3分）设()yzxyfx，()fu可导，则zzxyxy（）。例5．（04年期末考试，三、1，8分）设(,)Guv可微，方程(,)0Guv，其中22,uxyzvyxz确定了z是,xy的二元可微隐函数，试证明222(2)(2)4.zzyxzxyzzxyxy。例6．（03年期末考试，三、2，5分）设(,)uv具有连续偏导数，证明方程(,)0xyzyxz所确定的函数(,)zfxy满足2()()1.zzyxzxyzzxy。例7记22(,)tufxtx，f具有连续二阶偏导数，求,uuxt，222,uuxxt。例8设yxzln2，而vux，vuy3，求uz和vz。zuxyxy例9设22)(bazyeuax，而xaysin，xbzcos，则dudx。例10．设22(,)xyzfxye，又f具有连续的二阶偏导数，求2,,zzzxyxy。2．一阶全微分形式不变性：设(,)zfuv，则不管,uv是自变量还是中间变量，都有''uvdzfdufdv通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1．设(,,),(,),(),uFxyzzfxyyx其中,,Ff都可微，求dudx。五、隐函数的求导法则1、(,)0()Fxyyfx，求dydx方法1（直接代公式）：xyFdydxF，其中：(,)xxFFxy，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住()yfx）：0xxyyFdydyFFdxdxF222()()()xxxyyxyxyyydydyFFFFFFdydxdxdxF2．(,,)0(,)Fxyzzfxy，求,zzxy方法1（直接代公式）：,yxzzFFzzxFyF方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住(,)zfxy）：0xxzzFzzFFdxdxF，0yyzzFzzFFdydyF3．(,,,)0(,),,,(,,,)0(,)FxyuvuuxyuuvvGxyuvvvxyxyxy求，建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数uvxx，的二元方程组，得到uvxx，。同理可求得,uvyy。例1．设2),,(yzezyxfx，其中),(yxzz是由0xyzzyx确定的隐函数，求)1,1,0(xf。例2．设有隐函数(,)0xyFzz，其中F的偏导数连续，求,zzxy。例3．（04年期末考试，三、1，8分）设(,)Guv可微，方程(,)0Guv，其中22,uxyzvyxz确定了z是,xy的二元可微隐函数，试证明222(2)(2)4.zzyxzxyzzxyxy六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线000000'''000'''000()()()()()()()()0()()()()xxtxxyyzzyytxtxxytyyztzzxtytztzzt切线向量'''000{(),(),()}xtytzt000000''00''00()()()()()()()0()1()()()xxxxyyzzyyxyyxxxytyyztzzzzxytztzzx切线向量''00{1,(),()}yxzx(,,)0()()(,,)0()()xxFxyzyyxyyxGxyzzzxzzx切线向量''00{1,(),()}yxzx000000''00''00()()()()()01()()xxyyzzxxytyyztzzytzt3、曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数00000000