部分习题解-黎永锦《泛函分析讲义》的Word文档

泛函分析讲义-黎永锦134部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L.Bers（贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2设niiiixRxxl11}||,|){(,对任意1)(),(lyyxxii,1||),(iiiyxyxd,||sup),(iiyxyx,试证明d和为X上的两个度量,且存在序列1}{lxn,1lxo,使得0),(0xxn,但),(0xxdn不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)dxy和(,)xy为1l上的两个度量.（2）取111(,,,,0,)nxnnn当in时,()1ninx,当in时()0nix,则1nxl且()1(,0)sup|0|0nninxx,但()111(,0)|0|1nnniniidxx.因此(,0)0nx,但),(0xxdn不收敛于0.黎永锦-部分习题解答1351.4试找出一个度量空间),(dX,在X中有两点yx,,但不存在Xz,使得),(zxd),(21),(yxdzyd.1.4证明：在2R上取离散度量(,)dxy0,1,.xyxy当时当时,则对于xy,有(,)1dxy,但不存在2zR,使得12(,)(,)(,)dxzdyzdxy.1.6在l中,设F为的非空子集,G为开集,试证明GF为开集.1.6证明：由(,)sup||iidxyxy可知,对任意,xyl,有(,)(,0)dxydxy,若G是开集,则对于任意,xFyG,有开球(,)UyrG.故(,)xUyrxG,因而GxryxU),(,从而对任意,xFxG是开集,由()xFFGxG可知FG是开集.1.8在l中,设|){(ixM只有限个ix不为0},试证明M不是紧集.1.8证明：取()()nnixx,当in时,()0nix当in时,()1niix,则nxM,且0limnnxx,这里112(1,,,,)nx,但xM,因此M不是闭集,所以M不是紧集.1.10设),(dX为度量空间,XF,试证明CCFF)(0.1.10证明：对于任意0xF,有0(,)UxrF,故CFrxU),(,因而CCFx)(,从而CCFF)(0.对于任意CCFx)(,有()CxF,因而存在CFrxU),(,故(,)UxrF,从而0xF,故0)(FFCC.所以,0()CCFF.1.12设),(dX为度量空间,XF,试证明}|),(inf{),(FyyxdFxd为X到),0[的连续算子.泛函分析讲义-黎永锦1361.12证明：对于任意,xzX,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}(,)inf{(,)|}(,)(,)dxFdxyyFdxzdyzyFdxzdyzyFdxzdzF故(,)(,)(,)dxFdzFdxz类似地,有(,)(,)(,)dzFdxFdzx因此|(,)(,)|(,)dxFdzFdxz所以,0nxx时,必有0(,)(,)ndxFdxF,即(,)dxF是连续函数.1.14设),(dX为度量空间,F为闭集,试证明存在可列个开集nG,使nGF.1.14证明：由于F是闭集,因此{|(,)0}FxdxF,又因为(,)dxF是连续的,所以对任意1,{|(,)}nnxdxF是开集,从而对于开集1{|(,)}nnGxdxF,有1{|(,)0}{|(,)1/}nFxdxFxdxFn，所以1nnFG.1.16试证明l是完备的度量空间.1.16证明：设{}nx为l的Cauchy列,则对于任意0,存在N,使得nN时有()()(,)sup||npnnpniidxxxx.故对每个固定的i,有()()||(,1)npniixxnNp.因此(){}nix是Cauchy列.因而存在ix,使得()limniinxx,令()ixx,则由可知(1)||Niixx故黎永锦-部分习题解答137(1)||||Niixx由于(1)1()NNixxl,因此存在常数1NM使得11sup||NiNxM.又由()()||npniixx可知||niixx对任意i及nN成立.故()(,)sup||nniidxxxx所以,nxx,即l是完备的度量空间.1.18证明0c中的有界闭集不一定是紧集.1.18证明：令{()|||1}iiMxx,则M是0c的有界闭集,但M是不紧集.1.20设),,1[X|/1/1|),(yxyxd,试证明),(dX为度量空间,但不是完备的.1.20证明：容易验证|/1/1|),(yxyxd是),(dX的度量.取Xxn,),1[nxn,则}{nx为X的Cauchy列，但}{nx没有极限点，因此}{nx不是收敛列，所以不是完备的.1.22试证明度量空间),(dX上的实值函数f是连续的当且仅当对于任意R,})(|{xfx和})(|{xfx都是),(dX的闭集.1.22证明:若度量空间),(dX上的函数f是连续的,则明显地,对于任意R,})(|{xfx和})(|{xfx都是),(dX的闭集.如果对于任意R,})(|{xfx和})(|{xfx都是),(dX的闭集,则于任意R21,,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121xfxxfxXxfx是开集,对于R上的开集G,有G的构成区间),(nn,使得),(nnG,因而)(1Gf是开集,所以f是连续的.1.24设R为实数全体,试在R上构造算子T,使得对任意Ryx,,yx,都有||||yxTyTx,但T没有不动点.泛函分析讲义-黎永锦1381.24证明：(1)设R为实数全体,12:,tanTRRTxxx则对任意,,xyRxy,由'()()()()fxfyfxy可知22|()()|||||1fxfyxyxy但f(x)没有不动点.实际上,若()xfx,则1tan2x,因而矛盾.(2)设),,1[X11:,xTXXTxx则对任意,,xyRxy,由'()()()()fxfyfxy可知21|()()|[1]||||(1)fxfyxyxy但f(x)没有不动点.实际上,若()xfx,则110x,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25设函数),(yxf在)},(],,[|),{(ybaxyxH上连续,处处都有偏导数),('yxfy,且满足Myxfmy),('0试证明0),(yxf在],[ba上有唯一的连续解)(xy.提示：定义:],[],[:baCbaCT为),(1xfMT证明T为压缩算子,然后利用S.Banach不动点定理.1.26设),(dX为度量空间,T为X到X的算子,若对任意Xyx,,yx,都有),(),(yxdTyTxd,且T有不动点,试证明T的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A有两个不动点12,xx,使得1122,AxxAxx,则121212(,)(,)(,)dxxdAxAxdxx但这与12xx矛盾,所以A只有唯一的不动点.黎永锦-部分习题解答1391.27设),(dX为度量空间,且X为紧集,T为X到X的算子,且yx时,有),(),(yxdTyTxd,试证明T一定有唯一的不动点.证明思路：构造X上的连续泛函),(),(yxdTyTxd,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在Xx0,使得}|)({inf)(0Xxxfxf,0x就是T的不动点.1.28试构造一个算子22:RRT,使得T不是压缩算子,但2T是压缩算子.1.28证明：定义)0,(),(:221xxxT,则T不是压缩算子,但2T)0,0(),(:21xx是压缩算子.1.30设||),(),,1[yxyxdX,xxTxXXT/13/,:,试证明T是压缩算子.1.30证明：由xxTx/13/,可知|/13//13/|||yyxxTyTx),(32|||131|2yxdyx,所以T是压缩算子.习题二2.2设X为赋范线性空间,||||为X上的范数,定义.yx1||||；yx,0),(时当时当，yxyxd试证明),(dX为度量空间,且不存在X上的范数1||||,使得1||||),(yxyxd.2.2证明：由度量的定义可知是X上的度量.假设存在X上的范数1||||,使得1(,)||||dxyxy,则对于,KxX,一定有11||||||||||xx.泛函分析讲义-黎永锦140如果取001,,||||12xXx,则001000013||||||||1||||||1122xxx,但是1)11(21)1||(||||||||||00100xx,因此11||||||||||xx不成立,所以一定不存在X上的范数1||||,使得1(,)||||dxyxy.2.4设M是赋范空间X的线性子空间,若M是X的开集,证明MX.2.4证明：由于M是线性子空间,因此0M.由M是开集可知存在(0,){|||||}UxxM.因而对于任意,0xMx,有),0(2Ux,从而Mx2,因为M是线性子空间,所以xM,即MX.2.6设X是赋范线性空间,若nnnXxxK,,,,且xxn,试证明xxnn.2.6证明：由nxx可知存在0M,使得||||xM,故||||||||||||||||||||||||||||||||0nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxMxx所以,nnxx.2.10在l中,若M是l中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M是l的线性子空间,但M不是闭的.2.10证明：明显地M是线性子空间,取112(1,,,,0,0)nnx,则nxM且0nxx,但1102(1,,,,0,0)nxM,所以M不是闭的子空间.2.12设RRf:,满足)()()(yfxfyxf对任意Xyx,成立，若f在R上连续,试证明f是线性的.黎永锦-部分习题解答1412.12证明：由)()()(yfxfyxf可知,)()(xnfnxf对所有正整数Nn都成立.并且)()()(mxmfmxmxmxfxf,故)(1)(xfmmxf对所有正整数Nm都成立.因此所有正有理数Qq都有)()(xqfqxf成立,由)()())((xfxfxxf和)0()0()0(fff可知0)0(f并且)()(xfxf,因而)()(xqfqxf对所有有理数Qq都有成立.由于f在R上连续,因此,对于任意R,有Qqn,使得nq,从而)()(lim)(lim)(xfxfqxqfxfnnnn,所以f是线性的.2.14设X是有限维Banach空间,niix1}{为X的Schauder基,试证明存在Xfi,使得1)(iixf,且0)(jixf,对ji成立.2.14证明：令{|}ijMspanxij,则M是n-1维的闭子空间,且iixM,由HahnBanach定理可知存在*,||||1igXx,使得()(,)iiiigxdxM,且()0gx对任意ixM成立,令(,)iiigidxMf,则*ifX,且