集合的定义(一)

发疯了的数学家康托尔（1845－1918）是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年(21岁）曾去格丁根学习一学期。1867年（22岁）以数论方面的论文获博士学位。1869年（24岁）在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年(27岁）任副教授，1879年（34岁）任教授。康托尔简介由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁患了精神分裂症，被送进精神病医院。真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。从而解决17世纪牛顿1642－1727）与莱布尼茨（1646－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础.“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？(一)集合的含义如：班级、学校就是一个集合（集体）初中学过的集合有：1.数集：实数集有理数集无理数集整数集分数集正整数集负整数集零自然数集2.点集：（1）到一定点的距离等于定长的点的集合:（2）到线段AB的两个端点距离相等的点的集合:圆线段AB的中垂线该怎样给集合下个定义呢？（2）方程的所有实数根0232xx（1）1～20以内的所有质数；（3）所有的自然数（4）我校高一（1）班全体同学（5）直线y=2x+1与y轴的交点有什么共同特点呢？一些“个体”合成“整体”(1）、集合•定义：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体。•记法：通常用大写拉丁字母A,B,C……表示。（2）、元素•定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元•记法：常用小写拉丁字母a,b,c……表示（3）、元素与集合的关系：属于不属于1：集合的含义aaAA记元素（2）方程的所有实数根0232xx（1）1～20以内的所有质数；（3）所有的自然数（4）我校高一（1）班全体同学（5）直线y=2x+1与y轴的交点2,3,5,7,11,13,17,191,21,2,3,4,5，…0,(0,1)点坐标该怎么表示？写出下列集合的元素：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.[例1]下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正方形；②比姚明篮球打的好的人．③我国的小河流；④方程210x的实数根；任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？集合中的元素必须是确定的（确定性）不含任何元素x∈A与xA必居其一.①，④我们班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？2.元素的特点:(1).确定性在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？(2).互异性(3).无序性一般地,一个集合里的元素都是确定的,任何两个元素都是不同的,也就是说集合中的元素不允许重复出现,并且元素的排列与顺序无关.判断一组对象能否构成集合的依据这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的整环的理想理论是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环）。她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用Z表示了3.重要的数集:Q：有理数集：由于两个整数相比的结果(商)叫做有理数，商英文是quotient，所以就用Q了R：实数集（realnumber）N+或：自然数集中去掉0即正整数集*NN：自然数集即(Naturalnumber）0,1,2,3,4,5,...Z：整数集：实数集有理数集无理数集整数集分数集正整数集负整数集零自然数集RQZZNZN3.重要的数集:练习1．下列关系中正确的有________①0∈N*；②－32∈Q；③π∉Q；④0∉N；⑤2∈R；⑥－3∈Z；⑦0∈Z；⑧0.9∈R.②③⑤⑥⑦⑧如（1）1～20以内的所有质数；2,3,5,7,11,13,17,19二.集合的表示方法:元素为：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，这种表示集合的方法叫列举法该集合表示为：2,3,5,7,11,13,17,19注意：（1）元素之间用“，”隔开（2）元素不重复，满足元素的互异性（3）元素无顺序，满足元素的无序性1.列举法：若集合A={(1，2)}，集合B={(2，1)},那么A、B是否为同一集合?19,17,13,11,7,5,3,2（2）方程的所有实数根0232xx（3）所有的自然数（5）直线y=2x+1与y轴的交点012x（6）方程的实数根例题2：用列举法表示下列集合（1）1～20以内的所有质数；2,3,5,7,11,13,17,191,20,1,2,3,4,5,...1,0集合的分类：有限集无限集空集（按元素个数分）相等集合：1,2=2,1430(3)元素个数无限但有规律时，也可以数似地用省略号列举，练习2．用列举法表示下列集合：(1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为________(2)方程|x－1|＝3的解集为________(3)绝对值小于3的整数的集合为________{－1,1，－4,2}{－2,4}{－2，－1,0,1,2}能用列举法表示不等式x-73的解集吗？(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合.符号描述法---用符号把元素所具有的属性描述出来即:或|()xpx|()xApx能用列举法表示不等式x-73的解集吗？|10xx不等式x-73的解集：x|10Rx或符号描述法---用符号把元素所具有的属性描述出来即:或|()xpx|()xApx例3：用描述法表示下列集合1不等式2x-13的解集2奇数集|2|2xRxxx或|21,xxkkZ【思维拓展】(1)写清楚该集合中的代表元素．(2)集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，只与集合中元素的共同特征有关．例如，{x∈R|x1}也可以写成{y∈R|y1}．(3)所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表述方式不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素所属范围为实数集时可以省略．文字描述法---用文字把所具有的属性描述出来如:所有等腰三角形构成的集合可表示为:{x|x是等腰三角形}由于同一类对象,同一概念定义有不同的陈述,用文字描述法表示集合时形式往往不唯一.如:{等腰三角形}={两条边相等的三角形}={两个内角相等的三角形}描述法表示集合的关键:1确定代表元素,2找出元素所具有的公共属性3.不能出现未被说明的字母4.所有内容都写在花括号内可简写为等腰三角形例4:试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程的所有根组成的集合;（2）由大于１０小于２０的所有整数组成的集合220x解：（１）设所求集合为Ａ，用描述法表示为2{20}AxRx{2,2}A用列举法表示为（２）设所求集合为Ｂ，用描述法表示为Ｂ＝｛｝1020xZx用列举法表示为Ｂ＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19｝(3)图示法(韦恩图)用一条封闭的曲线围成的区域来表示一个集合,即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.3用图示法表示集合A={6的正约数}和B={8的正约数}之间的关系.如1{30的质因数}可表示为:2,3,52表示任意一个集合AAB1,23,64,8三种表示法对比列举法---具体描述法---简洁,抽象图示法---形象直观,特别是表示集合间的关系时体现了数形结合思想,比较直观.课堂小结:1集合概念中”确定的对象”可以是任意的具体确定的事物,如数,式,点,形,物等2集合元素的三个特征:确定性,互异性,无序性.要能熟练运用之(互异性易出错)3集合的表示方法:列举法,描述法,图示法.1.已知集合，如果集合A中有且只有3个元素，求实数的取值范围，并用列举法表示集合A.|2AxZaxaa例1：用列举法表示下列集合：Naaa,501）（Zyxyxyx,,20,20,2）（（3）单词“school”中字母构成的集合.用适当的方法表示下列集合的正约数组成的集合2.坐标平面内第一象限的点组成的集合2230xx3.方程的解集1.241.1000随堂练习用适当的方法表示下列集合：（1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1为半径的圆周上的点组成的集合；（3）所有偶数组成的集合；（4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.{-2，-1，0，1，2}或{|||3}xZx22{(,)|1}xyxy{|2,}xxkkZ{123，132，213，231，312，321}.小结：一：集合的有关定义1.集合2.元素3.元素与集合的关系二：集合的表示方法：1.列举法2.描述法3.图示法