浅谈数学建模在三角函数应用中的运用

龙源期刊网浅谈数学建模在三角函数应用中的运用作者：奚剑峰来源：《中小学教学研究》2014年第11期一、对数学建模的基本理解（一）数学建模的概念数学建模是一种新的数学学习方式，是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，也就是把现实世界中的实际问题提炼、抽象，做出相应的数学模型，然后求出模型的解，验证模型的合理性，并能用该数学模型的解来解释一类现实问题的过程。数学建模的一般步骤为：①分析问题：了解对象的实际背景知识，根据实际背景和要求进行“问题分析”。②假设模型：根据问题分析和建立数学模型的目的做出合理简化的“模型假设”。③建立模型：在问题分析与模型假设的基础上“建立数学模型”。④求解模型：选择适当的数学工具“求解数学模型”。⑤分析解决：对模型结果进行“模型分析”，如果合乎实际要求就用来解决实际问题，如果不合乎实际要求就回到②继续。数学建模的特点有：①问题来源于实际，②需要假设，③需要验证、讨论，④没有唯一解，⑤模型逼真可行，⑥模型可渐进，⑦模型可转移，⑧没有统一固定方法。（二）三角函数的应用教材分析《普通数学课程标准》（以下简称《标准》）将三角函数作为刻画现实世界的数学模型。学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即“问题情景—建立模型—数学结果—解释、应用与拓展”。《标准》对三角函数内容的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立三角函数模型（引出三角函数概念），再运用数学的方法研究三角函数模型的性质，最后运用三角函数模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题。这样处理体现了数学知识的产生、发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识。三角函数的应用学习要求是会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。龙源期刊网教学重点是建立三角函数的模型，进而运用三角函数的相关知识与方法解决有关实际问题；教学难点是：建立三角函数的模型。二、三角函数的应用教学内容教材举了两个例子：一个是物理学中的简谐运动问题，一个是水车问题。（一）物理学中的简谐振动例1：如图1，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）的函数关系；（2）求该物体在t=5s时的位置。由于简谐运动的物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）满足函数关系x=Asin（ωtx+φ），所以本题在教学时采用待定系数法就可以解决，只是在开始计时时要注意位移的值。（二）有关水车圆周运动的问题例2：图2，一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间。（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？龙源期刊网（参考数据：sin0.73=[23]）（三）两个例子的区别与联系例1是简谐振动，是动点到某定点的位移问题，例2圆周运动，是点到某定线的位移问题；例2中点P在y轴上的射影就转化为动点到某定点的位移问题，也就是例1了。三、教学实验方案及课堂实录在例1中，由于简谐运动的物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）满足函数关系x=Asin（ωtx+φ），所以本题在教学时采用待定系数法就可以解决，只是在开始计时时要注意位移的值。例2的处理是个难点，为使本例题的作用最大化，特别制定了如下教学方案：【情景展示、布置任务】中国自古就是以农立国，与农业相关的科学技术取得了卓越的成就。水利作为农业中最不可缺的一环，各朝政府虽致力于兴修水利工程，不论是灌溉渠道或是运河都动员了大量的人力、物力和财力去营建。但是这些渠道大都分布在各大农业区，至于高地或是离灌溉渠道及水源较远之地，显然是无法顾及。于是中国人善用其智慧，发明了另一种能引水灌溉的农具——水车。这次的社会实践（利用假期社会实践），我们就会看到这种水车（图3），请同学们在现场测量你认为用到的数据，回到教室后我们再交流，探究。【问题提出、探究解决】①数据收集与整理。同学们看到水车，感觉很新奇吧，你们来说说，都测量了哪些数据啊？生1：半径是2米差点，就算2米吧，池塘水深145cm。[取近似值，估算]生2：我量的半径是2米。龙源期刊网师：我们知道在测量时是允许存在一定的误差的，为了我们研究的方面，我们取近似值2米。还有什么数据吗？生3：我还看到水车上有个地方坏的，木条上少一块，（同学们笑），坏的地方转一下要20秒的时间。师：哦，你可真仔细！你能详细说下怎么记这20秒的吗？生3：我从坏处经过我的手开始的，我把手放在固定的地方。转了三圈用了一分钟，所以一圈是20分钟。师：有其他的数据吗？生4：我量的是水车转轴的中心距水面是1米，水车宽度是40厘米。②根据数据画出示意图。③讨论需要探究哪些问题？[这是本堂课的比较精彩的地方，往往是老师提出问题后让学生去思考，这里尝试让学生自我提出需要解决的问题，更能体现以学生为主体的教学理念，培养了学生发现问题的能力。学生讨论不久后就有如下两个问题：a.水车转动的速度是多少？根据物理学知识是研究角速度还是线速度？b.坏点处的高度问题？④问题探究。问题1：学生能根据物理学知识得到角速度为：[3×2π60]（rad/s）师：是不是这么多啊？学生在小声地议论，都说是的啊。老师边在讲台前来回踱步，边说：我一分钟走20米，你说我行走的速度是多少啊？速度是个什么量啊？生：啊！要注意方向，因为速度是矢量！其他学生立即表示认同。师：很好！能注意到速度的定义，速度和向量一样，都要大小和方向。师问生3：你没量时水车是按什么方向转的啊？龙源期刊网：按……，按逆时针方向。师：那么我们就以逆时针方向为正方向，那角速度就是[3×2π60]（rad/s）。问题2：师：坏点处的高度，显然是个相对高度，根据以往的经验（做题的经验很重要，以往教学强调双基，现在我们强调的三基：基本知识，基本技能，基本思想方法），这里我们应该搭建一个平台。生：（异口同声）建系。师：哪位同学说说看？生4：以水面为x轴或以水车中心为坐标原点建系。师：这位同学提供了两种方案，选哪个呢？生5：以水车中心为坐标原点建系。学生说，老师作图（图4）：师：好的，下面我们还看看坏点的相对高度问题。设坏点为点P，那是相对于哪里的高度问题呢？（图5）生6：相对于x轴。生7：相对于水面。师：其实相对于水面的高度比相对于轴的高度多多少啊？（生：1米）哎，对了，我们就选相对于水面吧。那点P相对于水面的高度是？生8：1+2sin∠AOP，其实就是点P的纵坐标问题，纵坐标为sin∠AOP龙源期刊网师：好，现在关键问题是怎么求sin∠AOP？生8：我知道要求角度，但看不出来，怎么求？师：这样，我们各个学生小组内讨论下，看看有没有什么进展。（学生分组讨论，学生有较充分的独立思考时间，能培养阅读与交流能力，小组活动有组织）生9：由于点P是转过去的，所以跟角速度有关，只要知道从哪里开始转的，再跟据时间就可以算出∠AOP的大小了。师：他指出了要算角的大小就得先知道从哪里开始转的，也就是从哪里开始计时。还记得生3是从坏处经过手开始计时的。（手放在固定的地方）。由于各人的手的位置具有不确定性，我们可以以一个固定的参照物为准来记时。生9：可以在点P在最低点处时开始，也可以在点P从水中浮现时开始计时。师：好，我们就以点P从水中浮现时开始计时。（为什么这样记时，其实两种记时方案都可以）下面思考一个问题：图6中三个角（∠AOP0，∠AOP，∠P0OP）的关系是什么？怎么来表示∠AOP？生9：∠AOP=∠P0OP-∠AOP0+2kπ（k∈Z）。师：是加还是减啊？生10：考虑到角的正负就应该是∠AOP=∠P0OP-∠AOP0+2kπ（k∈Z）（∠AOP0是负角）。师：那么∠P0OP是多大呢？生10：根据角速度的大小，∠P0OP=[3×2π60]t=[π10]t，其中t是转动的时间。进而可以得到点P相对于水面的高度为：2sin（[π10]t-[π6]t）+1，其中[π6]是由于sin∠AOP0=-[12]。师：好，如此一来，我们就得到了点P相对于水面的高度z（m）与水车转动时间t（s）的关系式z=2sin（[π10]t-[π6]t）+1，想一下这里面什么量是最重要的？起决定作用的？龙源期刊网生：2sin（[π10]t-[π6]t）+1。师：这里面最重要的又是什么呢？学生思考后有一学生说：就是点P的纵坐标。师：好！这个量是解决这个问题的关键啊！不错！【师生小结】师生共同小结下问题2的解决方法：1.阅读实际问题，理解题意，明确要求的量，建立坐标系（搭建平台），通过研究点的坐标来研究线段的长度。2.在实际问题中凡涉及旋转角的问题常可考虑用角的知识加以解决，而呈现“周期”现象的问题则可考虑用三角函数加以模拟；在数学学习中三角函数是个工具，如圆与椭圆上点的运动都具有周期性，与此相近的问题借助于三角函数来求解通常较为方便。【题后思考】如图7，如果P0在水面上方，距离水面的高度是2m，如果从P0开始计时，其他条件不变，请将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数。若点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数为z=2sin（[5π12]·t-[π6]）+0.5，请说出题目中的条件。【作业布置、延时探究】1.电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期。2.请调查我们南通某个地区的每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案。龙源期刊网一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论。（责任编辑：张华伟）