应用概率统计综合作业二

《应用概率统计》综合作业二一、填空题（每小题2分，共20分）1．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记iX3，2，1其他，，0等品，，抽到1ii，则1X，2X的联合分布律为（X1，X2）～(0，0)(0，1)(1，0)(1，1)0.10.10.80.2．设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数为其他，，0，10，10，)，(yxkxyyxf其中k为常数，则k=8.3．设随机变量X和Y相互独立，且)2，0(~2NX，)3，1(~2NY，则（X，Y）的联合密度函数为f(y)=∅*'(lny)×(lny)'=N(μ,σ^2)|x=lny×1/y.4．设随机变量X和Y同分布，X的密度函数为.，其他0，20，83)(2xxxf若事件aXA，aYB相互独立，且43BAPU，a则4^(1/3).5．设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律，且xX01P0.50.5则随机变量)，max(YXZ的分布律为Z=0，P=14Z=1，P=34.6．设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X的数学期望)(2XE18.4.7．设离散型随机变量X服从参数的泊松分布，且已知1)2)(1(XXE，则参数=1.8．设随机变量X和Y相互独立，且均服从正态分布)21，0(N，则随机变量YX的数学期望)(YXE2/（√（2pai））.9．设随机变量1X，2X，3X相互独立，其中1X服从正[0，6]区间上的均匀分布，2X服从正态分布)，0(22N，3X服从参数3的泊松分布，记随机变量32132XXXY，则)(YD46.10．设随机变量X的数学期望)(XE，方差2)(XD，则由切贝雪夫（Chebyshev）不等式，有)3(XP1/9.二、选择题（每小题2分，共20分）1．设两个随机变量X和Y相互独立且同分布，21)1()1(YPXP，21)1()1(YPXP，则下列各式成立的是（A）（A）21)(YXP（B）1)(YXP（C）41)0(YXP（D）21)1(YXP2．设随机变量)2，1(iXi的分布律为：kXi101P25.05.025.0且满足1121XXP，则21XXP等于（B）（A）0（B）41（C）21（D）13．设两个随机变量X和Y相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（D）（A）2X（B）YX-（C）YX（D）（YX，）4．设离散型随机变量（YX，）的联合分布律为Y1231X61911812X31若X和Y相互独立，则和的值为（A）（A）92，91（B）91，92（C）1201（D）185，1815．设随机变量X的Y相互独立，其分布函数分别为)(xFX与)(yFY，则随机变量)，max(YXZ的分布函数)(zFZ是（C）（A）)(，)(maxzFzFYX（B）)()()()(zFzFzFzFYXYX（C）)()(zFzFYX（D）)]()([21zFzFYX6．对任意两个随机变量X和Y，若)()()(YEXEXYE，则下列结论正确的是（B）（A）)()()(YDXDXYD（B）)()()(YDXDYXD（C）X和Y相互独立（D）X和Y不相互独立7．设随机变量X服从二项分布，且4.2)(XE，44.1)(XD，则参数n，p的值等于（B）（A）4n，6.0p（B）6n，4.0p（C）8n，3.0p（D）24n，1.0p8．设两个随机变量X和Y的方差存在且不等于零，则)()()(YDXDYXD是X和Y的（C）（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件，但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件9．设随机变量（X，Y）的方差4)(XD，1)(YD，相关系数6.0YX，则方差)23(YXD（C）（A）40（B）34（C）25.6（D）17.610．设随机变量X和Y相互独立，且在（0，）上服从均匀分布，则)，min(YXE（C）（A）（B）2（C）3（D）4三、（10分）设随机变量1X，2X，3X，4X相互独立，且同分布：6.00iXP，1iXP0.4，i=1，2，3，4．求行列式4321XXXXX的概率分布.解答：Y1=X1X4Y2=X2X3Z=Y1-Y2P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84Z有三种可能-1,0,1P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312Z-101P0.13440.73120.1344四、（10分）已知随机变量X的概率密度函数为xexf21)(，x；（1）求X的数学期望)(XE和方差)(XD.（2）求X与X的协方差，并问X与X是否不相关？（3）问X与X是否相互独立？为什么？解答：五、（10分）设二维随机变量（YX，）的联合密度函数为其他，，0，0，)，(yxcxeyxfy试求：（1）常数c；（2）)(xfX，)(yfY；（3）)(yxfYX，)(xyfXY；（4）)1(YXP.解答：(1)由概率密度函数的性质∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=1，得∫+∞0dy∫y0cxe−ydx=c2∫+∞0y2e−ydy=c=1，即c=1(2)由于为判断X与Y的相互独立性,先要计算边缘密度fX(x)与fY(y).fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy={xe−x0amp;,x0amp;,x⩽0类似地,有fY(y)=⎧⎩⎨12y2e−y0amp;,y0amp;,y⩽0由于在0xy+∞上,f(x,y)≠fX(x)fY(y)因此随机变量X与Y不是相互独立的。(3)当y0时,fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪2xy20amp;,0xy+∞amp;,其它，当x0时,fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)={ex−y0amp;,0xy+∞amp;,其它；(4)P{X1|Y2}=P(X1,Y2)P(Y2)=∫1−∞∫2−∞f(x,y)dxdy∫2−∞fY(y)dy=∫10dx∫2xxe−ydy∫2012y2e−ydy=1−2e−1−12e−21−5e−2，由条件密度的性质知P{X1|y=2}=∫1−∞fx|y(x|2)dx，而fx|y(x|2)=⎧⎩⎨x20amp;,0x2amp;,其它.∴P{X1|y=2}=∫10x2dx=14.六、（10分）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中的一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度函数)(tf及数学期望)(TE和方差)(TD.解答：用X1,X2表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时间，则：T=X1+X2.由已知条件,X1与X2相互独立,且Xi(i=1,2)的概率密度为：p(x)={5e−5x,x00,x⩽0，利用两个独立随机变量和的密度公式可得：①对于任意t0，T的概率分布：f(t)=∫∞−∞p1(x)p2(t−x)dx=25∫t0e−5xe−5(t−x)dx=25e−5t∫t0dx=25te−5t②当t⩽0时,显然有：f(t)=0.于是，f(t)={25te−5t,t00,t⩽0.由于Xi(i=1,2)服从参数为λ=5的指数分布，所以：EXi=15,DXi=125.因此,ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25因为X1与X2相互独立，所以：DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225七、（10分）设随机变量X和Y相互独立，X服从[0，1]上的均匀分布，Y的密度函数为.0，0，0，)(yyeyfy试求随机变量YXZ的密度函数)(zfZ.解答：八、（10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记3，2，1，其他，0等品，，若抽到1iiXi.试求：（1）随机变量1X与2X的联合分布律；（2）随机变量1X与2X的相关系数.解答：