《数学分析》(华师大二版)课本上的习题21

第二十一章重积分（续）与含参量非正常积分P.328二重积分中一些问题的讨论1...}{2是零面积集合证明：中收敛点列是设ERPEn2..A.2也是零面积集合、证明：都是零面积集合、上有界点集设BBABAR3.证明：若有界点集上可积，且在是零面积集合，则函数EyxfRE1),(2Ef.04.设点集21,SS都是可求面积的，证明：212121SSSSSS和、也都是可求面积的.5.设E,D为2R上可求面积区域，且DE.证明：若函数f在D上可积，则f在E上也可积，且当f为D上非负函数时有.DEff6.设，其他情形都是有理数，且若,0,,1),(pqxyxpyxf为定义在证明上函数.]1,0[]1,0[D：（1）上可积；在Df（2）若.]1,0[),()1,0(上不可积在，则中任一有理数取ypfpx7.设变换T如定理21.4所设，,),(00vuQuvG平面上可求面积区域，为)(T.证明：当)(0)(Qd退缩到时，有.),(lim00vuJP.334n重积分1.计算五重积分Vdxdydzdudv,其中.:222222rvuzyxV2.计算四重积分,1122222222dxdydzuzyxuzyxV其中.1:2222uzyxV3.求n维角锥),,2,1(0,1,02211niaaxaxaxxinni的体积.4.重积分上的)2(:222221nRxxxnnndxdxdxxxxf2122221)(化为单重积分，其中)(uf为连续函数.5.（1）是仿照本章§3零面积集合概念定义nR中集合E的零容度概念.（2）设.为零容度集合上有界函数，为维长方体，为VEVfnV证明：若f在.\上可积在上连续，则VfEV（3）设Vn为维长方体，f为V上可积函数.证明：f的图形},),(),{()(RyRVxxfyyxfGn是1nR中的零容度集合.P.350含参量非正常积分1.证明下列各题：（1）上一致收敛；在Rdxyxxy12222)(（2）上一致收敛；在)0](,[02abadyeyx（3）;)0](,[)(,0上一致收敛在abaidyxexy上不一致收敛；在],0[)(bii（4）上一致收敛；在)1](,1[)ln(10bbbdyxy（5）.)1](,(10上一致收敛在bbxdxy2.丛等式xeedyebxaxbaxy出发，计算积分).0(0abdxxeebxax3.应用定理21.8计算下列积分(其中0,0):(1)dxxeexx022;(2).sin0dxxxeexx4.计算下列函数的值：).21(),21(),25(),25(nn5.运用欧拉积分计算下列积分(其中n为自然数)：（1）;102dxxx（2）;022dxexxn（3）;cossin2046xdxx（4）;sin202xdxn（5）.sin2012xdxn6.回答下列问题：（1）对极限0022limdyxyexyx能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？（2）对03102)22(dxexyydyxy能否运用积分顺序交换来求解？（3）对ydexxFyx032)(能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？7.设),[],[cbaf为上连续非负函数，cdyyxfxI),()(在],[ba上连续，证明)(xI在],[ba上一致收敛.8.证明：若),[],[cbaf为上连续函数，含参量非正常积分cdyyxfxI),()(在),[ba上收敛，在bx发散，则),[)(baxI在上不一致收敛.9.证明定理21.9.10.上非负连续函数，为),[),[bafdxyxfyJdyyxfxIab),()(),((和）分别为.),[),[上连续函数和ba证明：若badyyxfdx),(与abdxyxfdy),(中有一个存在，则badyyxfdx),(abdxyxfdy),(.11.设证明,),()1(11yxqppeyxyxf.),(),(0000xdyxfdyxdyxfdy12.利用余元公式计算下列积分：（1）;)1(024dxxx（2）).(110为自然数nxdxnn（提示：先进行适当变换以便把它们写成欧拉积分形式）.P.352总练习题1.设其他情形都是有理数时当,0,,,11),(yxqqyxfyx为定义在]1,0[]1,0[D上的函数，其中xq和yq分别表示有理数x和y的既约分数的分母.证明：f在D上可积，但两个不同顺序的累次积分都不存在.2.设，其他情形时，都是有理数，且当0,,1),(yxqqyxyxf为定义在]1,0[]1,0[D上的函数（xq，yq意义同上题）.证明：f在D上不可积，但两个不同顺序的累次积分都存在.3.设为有理数时当为无理数时，当xyxyxf,3,1),(2为定义在]1,0[]1,0[D上的函数.证明：（1）f在D上不可积；（2）1010),(dyyxfdx存在；（3）f在D上先x后y的累次积分不存在.4.应用积分)(202oaadteat，证明：（1）;403222adtetat（2）0)21{122!)!12(2nnatnandtet5.应用积分.,20122022naxdxaaxdx）（求6.求函数02])1sin[()(dxxxyyF的不连续点，并作出函数)(yF的图像.7.设f是),0[),0[上的连续函数.证明：若0),(dyyxf在0x上一致收敛于)(yF，且)(),(limyyxfx，对任何),0[],[bay一致地成立，则.)()(lim0dyyxFx8.证明：（1）;61ln102dxxx（2）.10,)1ln(012unudtttun