导数与函数的单调性、极值、最值[压轴大题突破练]

第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第27练导数与函数的单调性、极值、最值[压轴大题突破练]明晰考情1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题.核心考点突破练栏目索引模板答题规范练考点一利用导数研究函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减.(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.核心考点突破练解答1.已知函数f(x)＝k＋4klnx＋4－x2x，其中常数k0，讨论f(x)在(0，2)上的单调性.解答2.已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性.解答(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；3.设函数f(x)＝3x2＋axex(a∈R).令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，解由(1)知，f′(x)＝－3x2＋6－ax＋aex.由g(x)＝0，解得x1＝6－a－a2＋366，x2＝6－a＋a2＋366.当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数.由f(x)在[3，＋∞)上为减函数知，x2＝6－a＋a2＋366≤3，解得a≥－92，故a的取值范围为－92，＋∞.解答(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围.解答(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；4.已知函数f(x)＝12x2－2alnx＋(a－2)x.解当a＝－1时，f(x)＝12x2＋2lnx－3x(x0)，则f′(x)＝x＋2x－3＝x2－3x＋2x＝x－1x－2x.当0x1或x2时，f′(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f′(x)0，f(x)单调递减.∴f(x)的单调递增区间为(0，1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2).解答(2)是否存在实数a，使函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.考点二导数与函数的极值、最值要点重组(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值，在x0处，f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.函数的最值必在极值点或区间的端点处取得.解答5.已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－lnx.(1)当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；可得f′(x)＝2ax＋(1－2a)－1x＝2ax＋1x－1x，解由函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－lnx，∵a0，x0，∴2ax＋1x0，令f′(x)0，即x－10，得x1，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).解答(2)当a0时，求函数f(x)在12，1上的最小值.解答6.讨论函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)(a∈R)的极值点的个数.解答(1)求f(x)的单调区间和极值；7.已知函数f(x)＝lnx＋ax.解f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，x∈(0，＋∞).①当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，无极值；②当a0，x∈(0，a)时，f′(x)0，f(x)在(0，a)上为减函数；x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(a，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上有极小值，无极大值，f(x)的极小值为f(a)＝lna＋1.解答(2)若对任意x0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，求正数a的取值范围.即对任意x0，均有2lna≤ax＋lnx恒成立，解若对任意x0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，由(1)可知f(x)的最小值为lna＋1，问题转化为2lna≤lna＋1，即lna≤1，故0a≤e，故正数a的取值范围是(0，e].模板答题规范练模板体验典例(12分)设函数f(x)＝12a2x2－lnx(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果函数f(x)的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围.审题路线图(1)求导得f′x＝a2x－1xx0→分a＝0，a0，a0讨论→得fx的单调区间(2)将所求转化为fx≥0，即a2≥2lnxx2→令hx＝2lnxx2x0，利用导数，求出hx的最大值为1e→解不等式a2≥1e，可求得a的取值范围规范解答·评分标准解(1)f′(x)＝a2x－1x(x＞0).1分当a＝0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.当a＞0时，f′(x)＝a2x2－1x＝a2x2－1a2x，由f′(x)≥0，得x≥1a；由f′(x)＜0，得0＜x＜1a.3分所以f(x)的单调递减区间为0，1a，单调递增区间为1a，＋∞.综上，当a＝0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a0时，f′(x)＝a2x2－1a2x，由f′(x)≥0，得x≥－1a；由f′(x)0，得0＜x－1a.5分所以f(x)的单调递减区间为0，－1a，单调递增区间为－1a，＋∞.当a＞0时，f(x)的单调递减区间为0，1a，单调递增区间为1a，＋∞；(2)f(x)的图象不在x轴的下方，即当x＞0时，f(x)≥0恒成立，当a＜0时，f(x)的单调递减区间为0，－1a，单调递增区间为－1a，＋∞.6分所以12a2x2－lnx≥0，即a2≥2lnxx2.7分令h(x)＝2lnxx2(x＞0)，则h′(x)＝2x－2xlnxx4＝21－2lnxx3，9分由h′(x)＞0，得0＜x＜e；由h′(x)＜0，得x＞e.故h(x)在(0，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减.当x＝e时，h(x)取得最大值1e.所以a2≥1e，解得a≤－ee或a≥ee.11分故实数a的取值范围是－∞，－ee∪ee，＋∞.12分构建答题模板[第一步]求导：一般先确定函数的定义域，再求导数f′(x).[第二步]转化：“判断函数单调性、求极值(最值)”常转化为“判断f′(x)的符号”，“切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标”，常转化为“导数的几何意义”，“恒成立问题”常转化为“求最值”等.[第三步]求解：根据题意求出函数的单调区间、极值、最值等问题.[第四步]反思：单调区间不能用“∪”连接；范围问题的端点能否取到.规范演练解答1.(2016·北京)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；依题意可知，f2＝2e＋2，f′2＝e－1，即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1.解f(x)的定义域为R.∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.解得a＝2，b＝e.解由(1)知，f(x)＝xe2－x＋ex，由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞).故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).解答(2)求f(x)的单调区间.解答2.已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R).若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.解答(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；3.已知函数f(x)＝13x3－12ax2，其中参数a∈R.解由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.解答(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解答4.已知函数f(x)＝ax－lnx＋x2.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值；f′(x)＝－1－1x＋2x＝2x2－x－1x＝2x＋1x－1x，解依题意知，当a＝－1时，f(x)＝－x－lnx＋x2，因为x∈(0，＋∞)，故当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故当x＝1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)＝0，无极大值.解答(2)若a＝1，∀x1∈(1，2)，∃x2∈(1，2)，使得f(x1)－x21＝mx2－13mx32(m≠0)，求实数m的取值范围.