空中加油方案的研究

空中加油方案的研究一、问题重述：设A为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n架加油机（简称辅机）。主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A的最远距离。显然当0n时，作战半径2/0Lr。问题1设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为nr。当4,3,2,1n时，求作战半径nr。问题2在问题1的假设下，当4n时，尽你的可能求出nr（提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出nr的上、下界；讨论当n的过程中nr与n的渐近关系；试给出判断最优作战方案（主机能够飞到nr处）的必要条件或充分条件。问题3若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为nR，讨论与问题1、问题2类似的问题。问题4若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,AA，有n架辅机，主机从基地A起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题3的假设，讨论21,AA的选址和主机的作战半径*nR。问题5设ABCD为矩形，LAB4，LAD2，DBA,,为三个空军基地，主机从A起飞，到C执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其他同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。二、模型假设全局假设1.主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同，且为常数；2.辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油；3.所有辅机在完成自身的任务后均要求返回基地；4.主机执行任务所需时间忽略不计；5.加油过程所需时间忽略不计；问题一、二的假设6.飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在空中加油的耗时均忽略不计；7.每架飞机只能上天一次；问题三、四、五的假设8.辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行/12L的时间；9.飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计；10.每架辅机可以多次上天；问题四、五的假设11.辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。三、符号说明A——空军基地n——辅机个数M——主机Fi——第i架辅机iF——第i架辅机飞离基地的最大距离iD——第i架辅机为主机的加油量四、问题分析问题一n=1时，有以下两种加油方案：1)一架辅机为主机前进服务（简称“送机”）2)一架辅机为主机返回服务（简称“接机”）定理1：在总辅机数一定的情况下，辅机自身飞行的耗油量越少，或者辅机给主机的加油量越多，主机的飞行半径越大。证明：辅机自身飞行耗油量即21niiF，辅机给主机的加油量即1iniD由1iniD+21niiF≤nL目标函数nr=12niiLD即求Max1iniD则1niiF取最小值时，1iniD取得最大值，即nr取得最大值证毕由定理1可得推论：推论1：主机的作战半径要达到最大，需满足辅机与主机返回主基地时均为油箱空油状态。则n=1时两种方案均为3LFLF3111142233LLr由上分析可得推论2：送机过程与接机过程是相对称的。则以下讨论仅需考虑送机数不小于接机的情况n=2时，考虑以下两种加油方案：1)两架辅机均用于送机；2)一架辅机用于送机，另一架辅机用于接机；定理2：当n架辅机送机时（不考虑辅机接辅机的情况），则所有辅机给主机的最大加油量为2nLn。证明：目标函数n1iDMaxis.t.1iniD+21niiF≤nL1iniD≤nd由约束条件可解得n1iDMaxi=2nLn证毕方案一，两架辅机均用于送机时，若不存在辅机接辅机的情况，即两架辅机同时出发，由定理2，2232224LLrL若一架与主机同时起飞，另一架等待为归来的辅机加油，24139218LLrL方案二，一架辅机用于送机，另一架辅机用于接机，21153326LLLrL综上，作战半径为256rLn=3时，考虑以下3种加油方案：1)三架辅机均用于送机；2)两架辅机用于送机，另一架辅机用于接机；（一架送机两架接机与之对称）。3)一架辅机用于送机，另一架辅机用于接机，第三架用于第一架接辅机。方案一，三架辅机均用于送机，则3343225LLrL方案二，两架辅机用于接机，另一架辅机用于接机，则3111123212LLLrL方案三，一架辅机用于送机，另一架辅机用于接机，第三架用于接第一架辅机，则34189329LLLrL综上，n=3时作战半径31112rLn=4时，考虑以下3种加油方案：1)四架辅机均用于送机；2)三架辅机用于送机，另一架用于接机；3)两架辅机用于送机，另两架用于接机；方案一，四架辅机均用于送机，则4454226LLrL方案二，三架辅机用于送机，另一架用于接机，则4312953230LLLrL方案三，两架辅机用于送机，另两架用于接机，则411222LLLrL综上，作战半径为4rL问题二n4时，调度方案较为复杂，可以先从简单的情况开始考虑。一、单向加油模型模型假设：辅机均与主机同时起飞，为主机加油由定理2，辅机与主机同时起飞，给主机的最大加油量为2nLn结合定理1，可得L2n1n2LL2nnrn即为主机的最大作战半径nLrn由问题一中n=4时r=L可知，该模型在n较大时不能取得较优的结果，所以要考虑辅机接机的情况。二、双向加油模型模型假设：送机的辅机数为a，接机的辅机数为b，a+b=n，不考虑辅机接辅机的情况。由定理2可得，送机的辅机给主机的最大加油量为L2aa，由推论2可知，接机的辅机给主机的最大加油量为L2bb。则L212bb2aarnL2b12a1L23）（因为Zba，，所以（1）n为偶数，a=b时，nr取得最大值；LLnnn214r（2）n为奇数，|ba|=1时，nr取得最大值。L21L15n8n1n4nr22n4n时，将数据代入该模型中检验，均得到正确的解释。考虑n=5的情形，由双向加油模型，最优的调度方案为两架辅机送机，三架辅机接机，或者三架辅机送机，两架接机，此时L2021r5考虑另一种调度方案：首先两架辅机送机，待一段时间后两架辅机起飞，其中一架给另一架辅机加油，加油完毕后自己返航，被加油的辅机遇到返航中的主机为主机加油并一起返回，此时留在基地的最后一架辅机前去接辅机与主机并恰好返回基地。此时L2021L1819L21181121r5可见当n较大时，该模型也无法给出最优的调度方案，需考虑辅机接辅机的情形。三、辅机加油模型考虑辅机接辅机的情况考虑接机的如下方案：除一架辅机留在基地，其余n-1架辅机同时出发，出发的n-1架辅机中n-2架辅机全部为其中的一架辅机前进服务，服务完毕后自动返航，被加油的那架辅机继续向前飞行，遇到返航的主机，为主机加油，并共同返回，留在基地的那架辅机负责接这架辅机和主机一起返回。这种情况下辅机给主机加油总量为n3265则由此，L1819L21181121r5L910L2118111811r6此模型优于上述的双向加油模型。并且，随着接辅机的辅机数的增加，作战半径也会相应增加。四、多级加油模型由以上分析可知，用辅机接送辅机时，主机的作战半径更大，可以考虑将辅机当做主机看待，则当辅机数无限多时，主机的作战半径也无限延伸。如可将三个飞机当成一组，3架满油的飞机可以保证其中1架飞到L31处满油（一架负责送机，一架负责接机），并且这三架飞机最后均能返回原处，则可以L31的距离为一级，3架飞机可以保证其中1架飞到下一级并且满油，依次类推，9架飞机可以保证其中3架飞到下一级，并且满油，27架飞机可以保证其中9架飞到下一级并且满油…由此，则可得，当有13nk架辅机时，L21L3rnkL21L1nlog313）（由此可推知，当以2m+1架飞机为一组时，可使m架辅机负责送机，m架辅机负责接机，由定理2可知，可保证其中一架飞机飞行L2mm仍保持满油，并且均恰好能返回上一级。当11m2nk）（时，L21L1nlog2mmr12mn）（使用matlab软件模拟nr-n的图像，nr的单位为L，n取0-1000，取m=1,2,3,5,6如下图所示，则可知，m=2即以5架飞机为一组，nr较优则可取n521rlog（n1）LL52由以上分析可知，当n时，nr，且n与nr的渐进关系为对数关系；n=0时，nr有下界L21；0n时，求nr下界则采取最简单的单向加油模型，即下界为L2n1n；由于充分条件较难给出，可在建立最优模型时充分考虑以下几个必要条件：1）主机与辅机返回基地时剩余油量为0；2）当辅机数为偶数时，应保证送机与接机的辅机数一样多；3）为主机前进服务的辅机在返回前应尽量将主机加满油；4）辅机返回基地前，尽量将油分给剩余的主机与辅机。问题三由于辅机可以多次上天，则辅机将有可能完成一送一接甚至更多。由于情况较为复杂，先考虑n较小的情形。n=1时，辅机最多可能可以完成一送一接；设辅机的飞离基地的最远距离为F，若辅机可以加满油后接主机回基地，则需满足LL121F2n=1时，L31F代入原不等式恒成立，所以相当于一送一接的情形，此时L65rR21；n=2时，经分析可知，两架辅机可完成两送两接；则此时LrR42；n=3时，经分析，可能存在每架辅机不止一送一接的情况，则36Rr；结合第二问的讨论可知，当n时，nr。问题四问题五1.要使得所用时间最短，即要求主机的飞行距离最短，即为线段AC，则可以选取分级加油模型来计算所需的辅机数。2.