第6章 杆系的屈曲

第6章杆件系统的压屈任课教师：强士中卫星第6章杆件系统的屈曲杆系压屈的基本原理杆单元刚度矩阵杆系弹性稳定计算杆系极限承载力分析6.1杆系压屈的基本原理桥梁结构往往可以可以看作由杆件系统组成；杆系的屈曲主要指整个系统的平衡失去稳定性，而不是其中个别杆件发生屈曲；杆系稳定分析中，杆件常称为“杆单元”，杆件连接点常称为“节点”。杆系弹性屈曲的基本假定：1)杆系的材料为理想弹性材料；2)屈曲变形很小，不考虑杆系几何尺寸的变化。杆件系统的屈曲是弹性小变形范围内的平衡分支稳定问题；杆系结构的临界荷载Ncr大于实际丧失结构承载力的荷载，Ncr是极限承载力的上限。杆件系统的屈曲计算与一般内力计算类似，均利用变形连续条件（力法）或平衡条件（位移法）建立方程；屈曲计算的关键是必须考虑杆件轴力对横向变形的影响；杆系的屈曲计算是确定结构发生随遇平衡时的荷载（Ncr=λN）；随着计算工具的发展，有限元方法已逐渐取代传统的力法、位移法及其他近似方法；6.2杆单元刚度矩阵6.2.1平面梁单元如图所示平面杆系结构坐标，节点i、j的位移：单元局部坐标系下：单元节点力：eijiiiiuvjjjjuveijiiiiuvjjjjuveijFFFiiiiNFVMjjjjNFVMxyzx`y`ijijMiViNiVjNjMj不考虑剪应变的作用，杆内任意点应变：(1)应变能：22212xuvvyxxx轴力弯矩弯曲变形dxdsdv122221dvdsdxdvdxdx24211111282dvdvdvdxdxdxdxdx2112dsdxdsdvdxdxdx22xEUdV22422222222201224lAEuvvuvvvuvUyyydAdzxxxzxzxzx2222122EuvvUydVxxx略去高阶项考虑到，则：(2)用广义应变来表示上式，则：(3)其中：(4)(5)22222000222lllEAuEIvEAuvUdzdzdzxxxx414vx0ydA2ydAI22222000222lllEAuEIvNvUdzdzdzxxx012lTUDdx2222000uxxuuvPvvxxvxx000000EADEIN杆单元任意点位移与节点位移和杆上荷载有关，可以近似采用假定的位移函数[N]将任意点位移与节点位移联系起来：∴(6)式中：将(6)代入(3):外荷载引起的势能：节点力产生的势能：efN123456000000NNNNNNNTeiiijjjuvuv11Nxl2Nxl233132Nxlxl2342Nxlxlxll23532Nxlxl236NxlxlleePfPNBBPN012leTeTUBDBdx00lleTTTqVfqdxNqdxeTeFVF杆单元总势能：(7)由最小势能准则：得：可表示为：或：(8)所以：qFUVV0012lleTeeTeTTTeBDBdxNqdxF0e000lleeTTBDBdxNqdxF0eeeqkFF0lTkBDBdx123456345600000000NNBNNNNNNNNeeeqFkF刚度矩阵(9)可表示成：(10)式中：[k]e—单元弹性刚度矩阵[kG]—几何刚度矩阵（初始应力刚度矩阵）22222222000000000066126126000051051066204020010151030000000000012612666000051051066202040010301015AAllIIIIllllIIllllIIENllkAAllIIIIllllllIIllllIIlleGkkk转换矩阵(11)整体坐标系下：(12)由节点力做的功与坐标系无关，可得：(13)将式(12)代入式(13)，可得：即(14)将式(8)代入式(14)，得：(15)cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001TeeTeTeTeeTFTFeTeeTeFFeTeFTFeeTTeqFTkTF将式(12)代入(15)可得：式中：，，则：任意节点处，等效节点力的和与作用在节点上的外力相平衡。(16)[K]—总刚度矩阵；{δ}—结构的节点位移；{F}—结构上的荷载；总刚度矩阵也由两部分组成：(17)eTTeeqFTkTTFTkTkTKFeTeqqFTFeekFDGKKF6.2.2平面杆单元如图所示平面杆系结构坐标，节点i、j的位移：单元局部坐标系下：单元节点力：eijiiiuvjjjuveijiiiuvjjjuveijFFFiiiNFVjjjNFVxyzx`y`ijijViNiVjNj杆内任意点应变：(18)应变能：式中：(19)(20)杆单元任意点位移：(21)∴(22)212xuvxx012lTUDdx00uuxxPfvvxx00EADN12120000eeNNfNNNeePfPNB12120000NNBNN将式(20)、(22)代入下式：可得：转换矩阵：0lTkBDBdx10100000000001011010000000000101DGEANkkkllcossin00sincos0000cossin00sincosT6.2.3空间梁单元如图所示空间杆系结构坐标，节点i、j的位移：单元局部坐标系下：单元节点力：eijiiiixiyiziuvwjjjjxjyjzjuvweijFFFiyiziixiyiziNVVFMMMjyjzjjxjyjzjNVVFMMMxyzij杆内任意点应变：(18)应变能：式中：(19)(20)2222221122xuvvwwyxxxxxx012lTUDdx22222222000000000000000000uxxvxxuwvxxPfwxxvxxwxx000000000000000000000000000000xyEAEIEIDGJNN任意点位移：123456345612000000000000000000000000000000000000eeNNNNNNfNNNNNNN123456345612345634560000000000000000000000000000000000000000000000000000NNNNNNNNNNBNNNNNNNNNN单元刚度阵：单元弹性刚度矩阵：323232322222323000000000001200060120006001206000120600000000000006040006020060004060002000000000001200060120006zzzzyyyyyyyyzzzzDzzzzAlAlIlIlIlIlIlIlIlIlGJElGJElIlIlIlIlIlIlIlIlkEAlAlIlIlIlI232322222001206000120600000000000006020006040060002060004yyyyyyyyzzzzlIlIlIlIlGJElGJElIlIlIlIlIlIlIlIlDGkkk单元几何刚度矩阵：0000000000006600001100000110556600011000001100550000000000000011002150001100130001100002150110000130000000000000660000110000011055660001100000110055000000000000001100130000GllllllkNllll1100215001100001300110000215ll坐标转换矩阵：l、m、n为局部坐标轴的方向余弦.000000000000T00000oxoxoxoyyyzzzlmn