数列求和专题(裂项相消)

第1页共8页数列求和专题复习一、公式法1.等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112.等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3.常见数列求和公式：)1(211nnkSnkn；)12)(1(6112nnnkSnkn；213)]1(21[nnkSnkn例1：已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.例2：设nSn321，Nn,求1)32()(nnSnSnf的最大值.第2页共8页二、倒序相加法似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例3：求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值例4：求222222222222123101102938101的和．变式1：已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值.第3页共8页三、裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则例5：求数列,11,,321,211nn的前n项和.例6：在数列na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和.第4页共8页变式1：求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12四、q倍错位相减法类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法.若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若nnncba，其中nb是等差数列，nc是公比为q等比数列，令112211nnnnnSbcbcbcbc则nqS122311nnnnbcbcbcbc两式相减并整理即得例7：求和：132)12(7531nnxnxxxS例8：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.第5页共8页五、分组求和法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例9：求和：123235435635235nnSn例10:求数列)12)(1(nnn的前n项和.课后巩固：1.等比数列{}na的前n项和12nnS，则2232221naaaa＝______________.2.设1357(1)(21)nnSn，则nS＝_______________.3.1111447(32)(31)nn.4.1111...243546(1)(3)nn=.第6页共8页5.数列2211,(12),(122),,(1222),n的通项公式na，前n项和nS.6.;,212,,25,23,2132nn的前n项和为.7.数列na满足：11a，且对任意的Nnm,*都有：mnaaanmnm，则20083211111aaaa()A.20094016B.20092008C.10042007D.200820078.数列na、nb都是公差为1的等差数列，若其首项满足511ba，，11ba且Nba11,,则数列{nba}前10项的和等于()A．100B．85C．70D．559.设nnm)1(433221，则m等于()A.3)1(2nnB.)4(21nnC.)5(21nnD.)7(21nn10.若nSnn1)1(4321，则503317SSS等于()A.1B.-1C.0D.211.设na为等比数列,nb为等差数列，且nnnbacb,01，若数列nc是1,1,2,…,则nc的前10项和为()A.978B.557C.467D.97912.22222212979899100的值是()A.5000B.5050C.10100D.2020013.已知数列na的首项31a，通项nqpann2(Nn，p，q为常数)，且1a，4a，5a成等差数列．求：（1）p，q的值；（2）数列na前n项和nS的公式．第7页共8页14.设等差数列na的前n项和为nS，且244SS，122nnaa.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足nnnababab2112211，Nn，求nb的前n项和nT.15.已知等差数列na是递增数列，且满足1574aa，883aa.（1）求数列na的通项公式；（2）令)2(911naabnnn，311b，求数列nb的前n项和nS.第8页共8页16.已知数列na的前n项和为nS，且12nnaS；数列nb满足),2(11Nnnbbbbnnnn，11b.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求数列nnba的前n项和nT.17.在等比数列na中，01a，Nn，且823aa，又1a，5a的等比中项为16.（1）求数列na的通项公式；（2）设nnab4log，数列nb的前n项和为nS，是否存在正整数k，使得kSSSSn1111321对任意Nn恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由．